Учебник для 7 класса

§ 25.3. Как найти центр тяжести тела?

Напомним, что центром тяжести называют точку приложения силы тяжести. Рассмотрим, как найти на опыте положение центра тяжести плоского тела - скажем, вырезанной из картона фигуры произвольной формы (см. лабораторную работу № 12).

Подвесим картонную фигуру с помощью булавки или гвоздя так, чтобы она могла свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О (рис. 25.4, а). Тогда эту фигуру можно рассматривать как рычаг с точкой опоры О.

Рис. 25.4. Как найти на опыте центр тяжести плоской фигуры

Когда фигура находится в равновесии, действующие на нее силы уравновешивают друг друга. Это сила тяжести F т, приложенная в центре тяжести фигуры Т, и сила упругости F упр, приложенная в точке О (эта сила приложена со стороны булавки или гвоздя).

Эти две силы уравновешивают друг друга только при условии, что точки приложения этих сил (точки Т и О) лежат на одной вертикали (см. рис. 25.4, а). В противном случае сила тяжести будет поворачивать фигуру вокруг точки О (рис. 25.4, б).

Итак, когда фигура находится в равновесии, центр тяжести лежит на одной вертикали с точкой подвеса О. Это и позволяет определить положение центра тяжести фигуры. Проведем с помощью отвеса вертикаль, проходящую через точку подвеса (синяя линия на рис. 25.4, в). На проведенной линии лежит центр тяжести тела. Повторим этот опыт при другом положении точки подвеса. В результате мы получим вторую линию, на которой лежит центр тяжести тела (зеленая линия на рис. 25.4, г). Следовательно, на пересечении этих линий находится искомый центр тяжести тела (красная точка Г на рис. 25.4, г).

Определение центра тяжести произвольного тела путем последовательного сложения сил, действующих на отдельные его части,- трудная задача; она облегчается только для тел сравнительно простой формы.

Пусть тело состоит только из двух грузов массы и , соединенных стрежнем (рис. 125). Если масса стержня мала по сравнению с массами и , то ею можно пренебречь. На каждую из масс действуют силы тяжести, равные соответственно и ; обе они направлены вертикально вниз, т. е. параллельно друг другу. Как мы знаем, равнодействующая двух параллельных сил приложена в точке , которая определяется из условия

Рис. 125. Определение центра тяжести тела, состоящего из двух грузов

Следовательно, центр тяжести делит расстояние между двумя грузами в отношении, обратном отношению их масс. Если это тело подвесить в точке , оно останется в равновесии.

Так как две равные массы имеют общий центр тяжести в точке, делящей пополам расстояние между этими массами, то сразу ясно, что, например, центр тяжести однородного стержня лежит в середине стержня (рис. 126).

Поскольку любой диаметр однородного круглого диска делит его на две совершенно одинаковые симметричные части (рис. 127), то центр тяжести должен лежать на каждом диаметре диска, т. е. в точке пересечения диаметров - в геометрическом центре диска . Рассуждая сходным образом, можно найти, что центр тяжести однородного шара лежит в его геометрическом центре, центр тяжести однородного прямоугольного параллелепипеда лежит на пересечении его диагоналей и т. д. Центр тяжести обруча или кольца лежит в его центре. Последний пример показывает, что центр тяжести тела может лежать вне тела.

Рис. 126. Центр тяжести однородного стержня лежит в его середине

Рис. 127. Центр однородного диска лежит в его геометрическом центре

Если тело имеет неправильную форму или если оно неоднородно (например, в нем есть пустоты), то расчет положения центра тяжести часто затруднителен и это положение удобнее найти посредством опыта. Пусть, например, требуется найти центр тяжести куска фанеры. Подвесим его на нити (рис. 128). Очевидно, в положении равновесия центр тяжести тела должен лежать на продолжении нити, иначе сила тяжести будет иметь момент относительно точки подвеса, который начал бы вращать тело. Поэтому, проведя на нашем куске фанеры прямую, представляющую продолжение нити, можем утверждать, что центр тяжести лежит на этой прямой.

Действительно, подвешивая тело в разных точках и проводя вертикальные прямые, мы убедимся, что все они пересекутся в одной точке. Эта точка и есть центр тяжести тела (так как он должен лежать одновременно на всех таких прямых). Подобным образом можно определить положение центра тяжести не только плоской фигуры, но и более сложного тела. Положение центра тяжести самолета определяют, вкатывая его колесами на платформы весов. Равнодействующая сил веса, приходящихся на каждое колесо, будет направлена по вертикали, и найти линию, по которой она действует, можно по закону сложения параллельных сил.

Рис. 128. Точка пересечения вертикальных линий, проведенных через точки подвеса и есть центр тяжести тела

При изменении масс отдельных частей тела или при изменении формы тела положение центра тяжести меняется. Так, центр тяжести самолета перемещается при расходовании горючего из баков, при загрузке багажа и т. п. Для наглядного опыта, иллюстрирующего перемещение центра тяжести при изменении формы тела, удобно взять два одинаковых бруска, соединенных шарниром (рис. 129). В том случае, когда бруски образуют продолжение один другого, центр тяжести лежит на оси брусков. Если бруски согнуть в шарнире, то центр тяжести оказывается вне брусков, на биссектрисе угла, который они образуют. Если на один из брусков надеть дополнительный груз, то центр тяжести переместится в сторону этого груза.

Рис. 129. а) Центр тяжести соединенных шарниром брусков, расположенных на одной прямой, лежит на оси брусков, б) Центр тяжести согнутой системы брусков лежит вне брусков

81.1. Где находится центр тяжести двух одинаковых тонких стержней, имеющих длину 12 см и скрепленных в виде буквы Т?

81.2. Докажите, что центр тяжести однородной треугольной пластины лежит на пересечении медиан.

Рис. 130. К упражнению 81.3

81.3. Однородная доска массы 60 кг лежит на двух опорах, как показано на рис. 130. Определите силы, действующие на опоры.

Умение оставаться в равновесии не прилагая к этому усилий очень важно для эффективной медитации, занятий йогой, цигун и так же для танцев живота. Это первое требование, скоторым, сталкиваются новички в этих видах занятий и одна из причин, по которым трудно сделать первые шаги без инструктора. Вопрос подсказывающий о том что человек своего центра тяжести не знает может выглядеть несколько по разному. В цигун, например, человек спросит как быть расслабленным и при этом выполнять движения стоя, начинающая танцовщица восточных танцев не будет понимать как разделить и координировать движения нижних и верхних частей туловища, а так же в обеих случаях люди будут перенапрягаться и часто терять устойчивость. Движения их будут неуверенными, неуклюжими.

По этому, важно понять как найти свой центр тяжести самому, это требует как мыслительной работы, так и сноровки, но со временем навык переходит на инстинктивный уровень.

Что нужно сделать чтобы не напрягать мышцы и при этом не пользоваться внешними опорами. Ответ очевиден, нужно перенести опору внутрь. Точнее опереться на условную внутреннюю ось. Где эта ось проходит? Понятие центра тяжести условное, но тем не менее применяется в физике. Там ее принято определять как точку приложения равнодействующей сил тяжести. Равнодействующая сила тяжести это совокупность всех сил тяжести с учетом направления их действия.

Сложновато пока? Запаситесь терпением.

То есть, мы ведь ищем точку в своем теле которая позволит нам не падать, не борясь при этом сознательно с земным притяжением. Это значит, что сила тяжести земли должна быть направленна так, чтобы она сходилась с остальными действующими силами где-то в центре нашего тела.

Такое направление сил создает условную ось в самом центре нашего тела, вертикальную поверхности это и есть вертикаль центра тяжести. Та часть тела которой мы упираемся в землю является нашей площадью опоры (мы упираемся в землю ступнями) В месте где эта вертикаль упирается в поверхность на которой мы стоим, то есть упираемся в землю, это точка центра тяжести внутри площади опоры. Если вертикаль сместиться из этого места, мы равновесие потеряем и упадем. Чем больше сама площадь опоры, тем нам легче оставаться близко к ее центру, и потому мы все инстинктивно будем делать широкий шаг стоя на не устойчивой поверхности. То есть площадь опоры это не только сами ступни, но еще и пространство между ними.

Еще важно знать что ширина площади опоры влияет сильнее чем длина. В случае человека, это значит что у нас больше шансов упасть на бок чем назад и уж тем более вперед. По этому при беге нам тяжелее удерживать равновесие, то же самое можно сказать о каблуках. А вот в широкой устойчивой обуви, устоять наоборот легче, даже легче чем совсем уж босяком. Однако упомянутые в начале виды активности предполагают очень мягкую, легкую обувь или ее полное отсутствие. По этому, помогать себе обувью мы не сможем.

Значит, очень важно найти центральную точку вертикальной линии на своей ступне. Обычно она располагается не в центре ступни, как некоторые автоматически предполагают, а ближе к пятке, где то на пол пути от центра ступни, к пятке.
Но это еще не все.

Кроме вертикальной линии центра тяжести есть еще горизонтальная, а так же отдельная для конечностей.
Горизонтальная линия у женщин и мужчин проходит немного по разному.

Впереди у женщин она проходит ниже, а у мужчин выше. У мужчин она проходит где-то на 4-5 пальцев ниже пупка, а у женщин на 10, примерно. Сзади женская линия проходит почти укопчика, а мужская выше него примерно на пять пальцев. Кроме того, для устойчивости в момент медитации важно обратить внимание на отвесную линию центра тяжести колена. Онарасположена немного выше кости (голени), но на два или три пальца ниже хряща.

Во время медитаций, как и во время танца живота, расставлять широко ступни не очень хорошо, максимальная ширина, обычно соответствует ширине плеч.

По этому, нужно немного помочь себе коленями попытавшись выстроить вертикальную ось как можно прямее. Станьте перед зеркалом, найдите на себе все описанные точки. Ногипоставьте на ширине плеч. Расслабьте мышцы ног и тела. Затем, выпрямите спину, не напрягая тело, расслабьте ноги немного согнув колени. Представьте себе три вертикальных линии, каждая из которых проходит в соответствующей точке в задней части туловища, в передней его части и в районе колен. Попытайтесь расположить точки так, чтобы передняя ось туловища была примерно на полпути меж задней и коленной осью. При этом колени не следует загибать так, чтобы они заходили за носок, они должны быть лишь немного согнуты и хорошо расслаблены. Желательно над центром тяжести внутри площади опоры, который мы нашли на ступне. Руки при этом можно свободно расположить по богам либо положить ладони на бедра.

Как вы будете знать, что нашли свой центр тяжести?

Вы будете ощущать легкое покачивание, но при этом точно будете знать, что не упадете.

Прямоугольник. Так как прямоугольник имеет две оси симметрии, то его центр тяжести находится на пересечении осей симметрии, т.е. в точке пересечения диагоналей прямоугольника.

Треугольник. Центр тяжести лежит в точке пересечения его медиан. Из геометрии известно, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в отношении 1:2 от основания.

Круг. Так как круг имеет две оси симметрии, то его центр тяжести находится на пересечении осей симметрии.

Полукруг. Полукруг имеет одну ось симметрии, то центр тяжести лежит на этой оси. Другая координата центра тяжести вычисляется по формуле: .

Многие конструктивные элементы изготавливают из стандартного проката – уголков, двутавров, швеллеров и других. Все размеры, а так же геометрические характеристики прокатных профилей это табличные данные, которые можно найти в справочной литературе в таблицах нормального сортамента (ГОСТ 8239-89, ГОСТ 8240-89).

Пример 1. Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рисунке.

Решение:

Выбираем оси координат, так чтобы ось Ох прошла по крайнему нижнему габаритному размеру, а ось Оу – по крайнему левому габаритному размеру.

Разбиваем сложную фигуру на минимальное количество простых фигур:

прямоугольник 20х10;

треугольник 15х10;

круг R=3 см.

Вычисляем площадь каждой простой фигуры, её координаты центра тяжести. Результаты вычислений заносим в таблицу

Ответ: С(14,5; 4,5)

Пример 2 . Определить координаты центра тяжести составного сечения, состоящего из листа и прокатных профилей.

Решение.

Выбираем оси координат, так как показано на рисунке.

Обозначим фигуры номерами и выпишем из таблицы необходимые данные:

Вычисляем координаты центра тяжести фигуры по формулам:

Ответ: С(0; 10)

Лабораторная работа №1 «Определение центра тяжести составных плоских фигур»

Цель: Определить центр тяжести заданной плоской сложной фигуры опытным и аналитическим способами и сравнить их результаты.

Порядок выполнения работы

Начертить в тетрадях свою плоскую фигуру по размерам, с указанием осей координат.

Определить центр тяжести аналитическим способом.

1. Разбить фигуру на минимальное количество фигур, центры тяжести которых, мы знаем, как определить.

   Указать номера площадей и координаты центра тяжести каждой фигуры.

   Вычислить координаты центра тяжести каждой фигуры.

   Вычислить площадь каждой фигуры.

   Вычислить координаты центра тяжести всей фигуры по формулам (положение центра тяжести нанести на чертеж фигуры):

Установка для опытного определения координат центра тяжести способом подвешивания состоит из вертикальной стойки 1 (см. рис.), к которой прикреплена игла 2 . Плоская фигура 3 изготовлена из картона, в котором легко проколоть отверстие. Отверстия А и В прокалываются в произвольно расположенных точках (лучше на наиболее удаленном расстоянии друг от друга). Плоская фигура подвешивается на иглу сначала в точке А , а потом в точке В . При помощи отвеса 4 , закрепленного на той же игле, на фигуре прочерчивают карандашом вертикальную линию, соответствующую нити отвеса. Центр тяжести С фигуры будет находиться в точке пересечения вертикальных линий, нанесенных при подвешивании фигуры в точках А и В .

Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела (рисунок 1.6).

Радиус-вектор этой точки

Рисунок 1.6

Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.

Если удельный вес однородного тела γ , вес элементарной частицы тела

P k = γΔV k (P = γV ) подставить в формулу для определения r C , имеем

Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты центра тяжести однородного объема

Аналогично для координат центра тяжести однородной поверхности площадью S (рисунок 1.7, а)

Рисунок 1.7

Для координат центра тяжести однородной линии длиной L (рисунок 1.7, б)

Способы определения координат центра тяжести

Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:

1 Аналитический (путем интегрирования).

2 Метод симметрии . Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.

3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).

4 Разбиение . Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S 1 и S 2 (S = S 1 + S 2 ). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C 1 (x 1 , y 1 ) и C 2 (x 2 , y 2 ) . Тогда координаты центра тяжести тела равны

Рисунок 1.8

5Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):

Рисунок 1.9

Центры тяжести простейших фигур

Рисунок 1.10

1 Треугольник

Центр тяжести площади треугольник совпадает с точкой пересечения его медиан (рисунок 1.10, а).

DM = MB , CM = (1/3)AM .

2 Дуга окружности

Дуга имеет ось симметрии (рисунок 1.10, б). Центр тяжести лежит на этой оси, т.е. y C = 0 .

dl – элемент дуги, dl = Rdφ , R – радиус окружности, x = Rcosφ , L = 2αR ,

Следовательно:

x C = R(sinα/α) .

3 Круговой сектор

Сектор радиуса R с центральным углом 2α имеет ось симметрии Ox , на которой находится центр тяжести (рисунок 1.10, в).

Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиуса (2/3)R .

Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB :

14. Способы задания движения точки.

При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.

При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:

Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t . Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них t .

При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t) . Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.

15. 1.2 Скорость точки

Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени Δt :

средняя скорость точки за промежуток времени Dt . Скорость точки в данный момент времени

Скорость точки – это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.