Лобачевский николай иванович. Д.Иваненко. Геометрия Лобачевского и новые проблемы физики Непонимание и непринятие идей русского математика

Основные события жизни:

1802 г. - поступил в Казанскую гимназию.

1807 г. - переведен в студенты университета.

1816 г. - Н.И. Лобачевский в возрасте 23 лет становится профессором.

1816-1817 гг. - Н.И. Лобачевский впервые подошел к вопросу об аксиоме параллельных.

1819 г. - Н.И. Лобачевского избирают деканом Казанского университета.

1822 г. - Н.И. Лобачевский становится членом строительного комитета по приведению в порядок старых и постройке новых университетских зданий.

1827 г. - Н.И. Лобачевский становится ректором университета.

1832 г. - женитьба на Варваре Алексеевне Моисеевой.

1842 г. - Н.И. Лобачевский избран членом-корреспондентом Геттингенского королевского общества наук.

1846 г. - Н.И. Лобачевского увольняют с должности ректора Казанского университета.

1847 г. - Н.И. Лобачевский отстранен от всех своих обязанностей по университету.

1856 г.12 (24) февраля - Великий русский математик Н.И. Лобачевский скончался от паралича легких.

В студенческие годы Н.И. Лобачевский отличался не только горячим увлечением наукой и упорными научными занятиями, но и многочисленными шалостями и проказами, к которым подталкивал юношу его необыкновенно живой и непоседливый характер. Университетское начальство отмечало и более серьезные проступки студента Лобачевского: «вольнодумство и мечтательное о себе самомнение, упорство» и даже «возму¬тительные поступки... оказывая которые в значительной сте¬пени явил признаки безбожия».

За все это Н.И. Лобачевский едва не поплатился исключением из университета, и только усиленные ходатайства казанских профессоров-математиков дали ему возможность окончить его. Дальнейшая его карьера развивается стремительно: в 21 год Н.И. Лобачевский - адъюнкт, а в 23 года - профессор.

Так началась его научная деятельность, многогранная, полная непреклонной энергии и страстного увлечения. Много сил отдал Н.И. Лобачевский организации и строительству Казанского университета, которым он руководил впоследствии в течение 20 лет. Одно лишь перечисление различных университетских должностей, занимаемых Н.И. Лобачевским, дает представление о размахе его университетской работы.
В конце 1819 года его избирают деканом. Одновременно на него ложатся обязанности по приведению в порядок университетской библиотеки, находившейся в невероятно хаотическом состоянии. Из-за отъезда профессора Симонова в кругосветное путешествие Н.И. Лобачевскому целых два учебных года приходится читать физику, метеорологию и астрономию. Между прочим, Н.И. Лобачевский и в дальнейшем никогда не терял интереса к физике и не отказывался не только от преподавания ее в университете, но и от чтения популярных лекций по физике, сопровождавшихся тщательно и интересно подготовленными опытами.

При нем были построены новые университетские здания. Увлекшись строительным делом, Н.И. Лобачевский тщательно изучает архитектуру как с инженерно-технической, так и с художественной стороны. Многие наиболее удачные в архитектурном отношении здания Казанского университета - анатомический театр, библиотека, обсерватория - являются осуществлением строительных замыслов Н.И. Лобачевского.

В 1827 году Н.И. Лобачевский становится ректором университета и занимает этот пост 19 лет. Вскоре на долю молодого ректора выпали нелегкие испытания.
В 1830 году в Поволжье свирепствовала холерная эпидемия, унесшая многие тысячи жизней. Когда холера достигла Казани, Н.И. Лобачевский сразу же принял в отношении университета героические меры: университет был фактически изолирован от всего остального города и превращен в крепость. Было организовано проживание и питание студентов на самой университетской территории - все это при самом деятельном участии ректора. Успех был блестящий - эпидемия прошла мимо университета. Энергичная самоотверженная работа Н.И. Лобачевского по борьбе с холерой произвела на все тогдашнее общество столь большое впечатление, что даже официальные инстанции сочли нужным ее отметить. Н.И. Лобачевскому было выражено «высочайшее благоволение» за усердие по предохранению университета и других учебных заведений от холеры.

Другим бедствием, разразившимся над Казанью, был страшный по своим опустошительным последствиям пожар в 1842 году. Во время этого ужасного пожара, уничтожившего огромную часть города, Н.И. Лобачевский вновь проявил чудеса энергии и распорядительности при спасении от огня университетского имущества. В частности, ему удалось сохранить библиотеку и астрономические инструменты.

Н.И. Лобачевский, вероятно, самый крупный по своим свершениям человек в двухсотлетней истории русских университетов. Если бы он не написал ни одной строчки самостоятельных научных исследований, мы тем не менее должны были бы с благодарностью вспомнить о нем как о замечательнейшем нашем университетском деятеле, как о человеке-подвижнике. Но Н.И. Лобачевский, кроме того, был еще и гениальным ученым.

Основная научная заслуга Н.И. Лобачевского заключается в создании так называемой «аксиомы параллельных». Все знания геометрической науки того времени покоились на выводах Евклида. Евклид считал, что на плоскости к данной прямой можно через данную, не лежащую на этой прямой, точку провести только одну параллельную прямую. Н.И. Лобачевский вывел стройную и безупречную систему, обладающую тем же логическим совершенством, что и обычная евклидова геометрия. Им была создана неевклидова геометрия, или геометрия Лобачевского.

Н.И. Лобачевский был первым, кто взглянул на математику как на опытную науку, а не как на абстрактную логическую схему. Он был первым, кто ставил опыты для измерения суммы углов треугольника; первым, кто сумел отказаться от тысячелетнего предрассудка незыблемости геометрических истин.

Значение самого факта создания неевклидовой геометрии для всей современной математики и естествознания колоссально, и английский математик Клиффорд, назвавший Н.И. Лобачевского «Коперником геометрии», ничуть не преувеличивал. Н.И. Лобачевский разрушил догму «неподвижной, единственно истинной евклидовой геометрии» так же, как Коперник разрушил догму о неподвижной, составляющей незыблемый центр Вселенной - Земле.

Если 20-е и 30-е годы XIX века были периодом высшего расцвета творческой деятельности Н.И. Лобачевского, то с середины 40-х годов, и притом совершенно внезапно для Н.И. Лобачевского, наступает период бездействия и старческого догорания. Основным событием, принесшим с собою этот трагический перелом в жизни Н.И. Лобачевского, было увольнение его 14 августа 1846 года с должности ректора. Это увольнение произошло без желания Н.И. Лобачевского и вопреки ходатайству совета университета. Почти одновременно произошло и увольнение его с должности профессора математики, так что с весны 1847 года Н.И. Лобачевский оказался отстраненным фактически от всех своих обязанностей по университету.

Вполне понятно, что Н.И. Лобачевский, для которого работа в университете была большой и незаменимой частью его жизни, воспринял свою отставку как тяжелый, непоправимый удар. Особенно тяжел был этот удар, конечно, потому, что он разразился в ту пору жизни Н.И. Лобачевского, когда его творческая научная работа была в основном уже завершена и, следовательно, университетская деятельность становилась основным содержанием его жизни. Личные горести дополнили чашу: умер любимый сын Н.И. Лобачевского, взрослый юноша, по свидетельству современников очень похожий на отца и внешностью, и характером. С этим ударом Н.И. Лобачевский никогда уже не смог справиться. Началась старость - преждевременная, но тем более гнетущая, с усиливавшимися признаками парадоксально раннего одряхления. Он стал терять зрение и к концу своей жизни совершенно ослеп. Последнее произведение - «Пангеометрия» - было им уже продиктовано. Н.И. Лобачевский умер 24 февраля 1856 года.

Поэтому при своей жизни Н.И. Лобачевский попал в тяжелое положение «непризнанного ученого». Впрочем, не следует винить современников Лобачевского: его идеи далеко опередили его время. Из иностранных математиков лишь знаменитый немец Гаусс понял эти идеи. По представлению Гаусса Лобачевский был избран в 1842 году членом-корреспондентом Геттингенского королевского общества наук.

Если право на бессмертие в истории науки Н.И. Лобачевский, несомненно, завоевал своими геометрическими работами, то не следует все же забывать, что и в других областях математики он опубликовал ряд блестящих работ по математическому анализу, алгебре и теории вероятностей, а также по механике, физике и астрономии.

Николай Иванович Лобачевский (1793-1856)

Великий русский геометр, творец неевклидовой геометрии Николай Иванович Лобачевский родился 2 ноября 1793 года в Нижегородской губернии, в бедной семье мелкого чиновника. После детства, исполненного нужды и лишений, по окончании гимназии, поступить в которую ему удалось лишь благодаря исключительной энергии его матери Прасковьи Александровны, мы видим его четырнадцатилетним мальчиком уже студентом только что открытого Казанского университета, в стенах которого и проходят вся дальнейшая его жизнь и работа. Н. И. Лобачевскому посчастливилось учиться в гимназии математике у незаурядного человека и, повидимому, блестящего педагога - Григория Ивановича Карташевского. Под его влиянием и развивались математические способности будущего великого геометра. Студентом он учился у известного Бартельса, профессора сначала Казанского, потом Юрьевского университета, серьёзно овладев математикой своего времени по первоисточникам, главным образом по работам Гаусса и Лапласа. Однако, несмотря на рано проявившиеся математические дарования, решение посвятить себя математике возникло у Н. И. Лобачевского не сразу; имеются сведения, что он вначале готовил себя к занятиям медициной. Во всяком случае, к 18 годам он уже выбрал математику.

Студенческие годы Н. И. Лобачевского наполнены не только горячим увлечением наукой и упорными научными занятиями; они полны и юношескими проказами и шалостями, в которых его жизнерадостный характер проявился очень рано. Известно, что он сидел в карцере за пускание ракеты в Казани в 11 часов вечера, что ему ставились в вину многие другие проказы. Но, кроме этого, отмечаются и более серьёзные проступки: "вольнодумство и мечтательное о себе самомнение, упорство" и даже "возмутительные поступки..., оказывая которые в значительной степени явил признаки безбожия".

За всё это Н. И. Лобачевский едва не поплатился исключением из университета, и только усиленные ходатайства казанских профессоров-математиков дали ему возможность окончить его. Дальнейшая его карьера развивается стремительно: 21 года Н. И. Лобачевский - адъюнкт, а 23 лет - экстраординарный профессор; в эти же годы, в связи с лекциями по геометрии, читанными им в 1816-1817 гг., он впервые подошёл к вопросу, решение которого составило славу всей его жизни - к вопросу об аксиоме параллельных.

Юность Н. И. Лобачевского кончалась. Начался период полного раскрытия его богатой и многообразной личности. Началось научное творчество, исключительное по его математической силе. Началась и быстро развивалась его изумительно многогранная, полная непреклонной энергии и страстного увлечения работа профессора, вскоре во всех отношениях первого профессора Казанского университета. Началось его горячее участие во всех областях деятельности, организации и строительства Казанского университета, перешедшее затем в почти двадцатилетнее полное и единоличное руководство всей университетской жизнью. Одно лишь перечисление различных университетских должностей, последовательно, а часто и параллельно, занимавшихся им, даёт представление о размахе его университетской работы. В конце 1819 г. его избирают деканом; одновременно на него ложатся обязанности по приведению в порядок университетской библиотеки, находившейся в невероятно хаотическом состоянии. Профессорская деятельность его в эти же годы получает новое содержание: за отъездом профессора Симонова в кругосветное путешествие, целых два учебных года ему приходится читать физику, метеорологию и астрономию. Между прочим, Н. И. Лобачевский и в дальнейшем никогда не терял интереса к физике и не отказывался не только от преподавания её в университете, но и от чтения популярных лекций по физике, сопровождавшихся тщательно и интересно подготовленными опытами. В 1822 г. Н. И. Лобачевский - ординарный профессор; одновременно он становится членом строительного комитета по приведению в порядок старых и постройке новых университетских зданий. В 1825 г. он уже председатель этого комитета. Фактически он является основным строителем всей совокупности новых зданий Казанского университета и, увлечённый этими новыми своими обязанностями, тщательно изучает архитектуру как с инженерно-технической, так и с художественной стороны. Многие наиболее удачные в архитектурном отношении здания Казанского университета являются осуществлением строительных замыслов Н. И. Лобачевского; таковы: анатомический театр, библиотека, обсерватория.

Наконец, в 1827 г. Н. И. Лобачевский становится ректором университета и занимает этот пост 19 лет. Свои обязанности ректора он понимает очень широко: от идейного руководства преподаванием и всей жизнью университета до личного вхождения во все повседневные университетские нужды. Сделавшись ректором, он ещё в течение нескольких лет продолжал нести обязанности университетского библиотекаря и сложил их лишь после того, как поставил библиотеку на надлежащую высоту. В качестве примера энергии и активности, проявленных Н. И. Лобачевским на благо университета, следует сказать об его роли во время двух трагических событий, обрушившихся на казанскую жизнь во время его ректорства. Первым из этих событий была холерная эпидемия 1830 г., свирепствовавшая в Поволжье и унесшая многие тысячи жизней. Когда холера достигла Казани, Н. И. Лобачевский сразу же принял в отношении университета героические меры: университет был фактически изолирован от всего остального города и превращён как бы в крепость. Было организовано проживание и питание студентов на самой университетской территории - всё это при самом деятельном участии ректора. Успех был блестящий - эпидемия прошла мимо университета. Энергичная самоотверженная работа Н. И. Лобачевского по борьбе с холерой произвела на всё тогдашнее общество столь большое впечатление, что даже официальные инстанции сочли нужным её отметить, Н. И. Лобачевскому было выражено "высочайшее благоволение" за усердие по предохранению университета и других учебных заведений от холеры.

Другим бедствием, разразившимся над Казанью, был страшный по своим опустошительным последствиям пожар в 1842 г. Во время этого ужасного пожара, уничтожившего огромную часть города, Н. И. Лобачевский вновь проявил чудеса энергии и распорядительности при спасении от огня университетского имущества. В частности, ему удалось сохранить библиотеку и астрономические инструменты.

Однако центральной точкой приложения энергии и талантов Н. И. Лобачевского как ректора университета были его прямые заботы о воспитании юношества в самом широком смысле этого слова. Все остальные стороны его деятельности на ректорском посту составляли только рамку для осуществления этой основной задачи. Проблемы воспитания привлекали его во всём их объёме и, как всё, что его интересовало, они интересовали его самым горячим образом. Ещё с 1818 г. Н. И. Лобачевский состоял членом училищного комитета, ведавшего средними и низшими учебными заведениями, и с тех пор он не терял из виду, наряду с вопросами университетского преподавания, и запросов школьной жизни. Постоянно руководя приёмными экзаменами в университет, Н. И. Лобачевский прекрасно знал, с какими знаниями школьник того времени приходил в высшее учебное заведение. Интересуясь всей линией развития человека - от детского до позднего юношеского возраста, - он требовал от воспитания очень много, и рисовавшийся перед ним идеал человеческой личности был очень высок. Речь Н. И. Лобачевского "О важнейших предметах воспитания" является замечательным памятником не только педагогической мысли, но, если позволительно так выразиться, той "воспитательной эмоции", того педагогического пафоса, без которых сама педагогическая деятельность превращается в мертвящее ремесло. Сам Н. И. Лобачевский обладал в полной мере разнообразием и широтой жизненных интересов, входивших в его идеал гармонически развитой человеческой личности. Естественно, что он многого требовал от молодого человека, пришедшего в университет учиться. Он прежде всего требует от него, чтобы он был гражданином, "который высокими познаниями составляет честь и славу своего отечества", т. е. ставит перед ним высокий и ответственный патриотический идеал, основанный, в частности, на высокой квалификации в пределах избранной профессии. Но далее подчёркивает, что "одно образование умственное не довершает ещё воспитания", и предъявляет большие требования к интеллигентному человеку как к полноценному представителю интеллектуальной, этической и эстетической культуры. Н. И. Лобачевский был не только теоретиком воспитания, а и на самом деле воспитателем, учителем молодёжи. Он был не только профессором, блестяще и тщательно читавшим свои лекции, но и человеком, знавшим прямую дорогу к юношескому сердцу и умевшим во всех случаях, когда это требовалось, находить те самые нужные слова, которые способны были действовать на сбившегося с пути студента, возвратить его к работе, дисциплинировать его. Авторитет Н. И. Лобачевского в студенческой среде был чрезвычайно высок. Студенты любили Николая Ивановича, несмотря на строгость его как профессора и, в частности, как экзаминатора, несмотря на горячность, а иногда и резкость.

Н. И. Лобачевский, вероятно, самый крупный человек, выдвинутый почти двухсотлетней славной историей русских университетов. Если бы он не написал ни одной строчки самостоятельных научных исследований, мы, тем не менее, должны были бы с благодарностью вспомнить о нём как о замечательнейшем нашем университетском деятеле, как о человеке, который высоким званиям профессора и ректора университета дал такую полноту содержания, которой им не придавал никто другой из лиц, носивших эти звания до него, в его время или после его смерти. Но Н. И. Лобачевский, кроме того, был ещё и гениальным учёным, и не будь он таковым, не имей он, наряду со всеми своими прочими дарованиями, ещё и первоклассного творческого дара и творческого опыта, он и в области университетского преподавания, и университетского руководства, и самой своей воспитательной деятельности не мог бы быть тем, кем он в действительности был.

Основная научная заслуга Н. И. Лобачевского заключается в том, что он впервые до конца усмотрел логическую недоказуемость евклидовой аксиомы параллельных и сделал из этой недоказуемости все основные математические выводы. Аксиома параллельных, как известно, гласит: в данной плоскости к данной прямой можно через данную, не лежащую на этой прямой, точку провести только одну параллельную прямую. В отличие от остальных аксиом элементарной геометрии, аксиома параллельных не обладает свойством непосредственной очевидности, хотя бы уже по одному тому, что является высказыванием о всей бесконечной прямой в целом, тогда как в нашем опыте мы сталкиваемся лишь с большими или меньшими "кусками" (отрезками) прямых. Поэтому на всём протяжении истории геометрии - от древности до первой четверти прошлого века - имели место попытки доказать аксиому параллельных, т. е. вывести её из остальных аксиом геометрии. С таких попыток начал и Н. И. Лобачевский, принявший противоположное этой аксиоме допущение, что к данной прямой через данную точку можно провести по крайней мере две параллельные. Н. И. Лобачевский стремился привести это допущение к противоречию. Однако по мере того, как он развёртывал из сделанного им допущения и совокупности остальных аксиом Евклида всё более и более длинную цепь следствий, ему становилось всё более ясным, что никакого противоречия не только не получается, но и не может получиться. Вместо противоречия Н. И. Лобачевский получил хоть и своеобразную, но логически совершенно стройную и безупречную систему предложений, систему, обладающую тем же логическим совершенством, что и обычная евклидова геометрия. Эта система предложений и составляет так называемую неевклидову геометрию или геометрию Лобачевского.

Получив убеждение в непротиворечивости построенной им геометрической системы, Н. И. Лобачевский строгого доказательства этой непротиворечивости не дал, да и не мог дать, так как такое доказательство выходило за пределы методов математики начала XIX в. Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского дали лишь в конце минувшего века Кэли, Пуанкаре и Клейн.

Не давши формального доказательства логического равноправия своей геометрической системы с обычной системой Евклида, Н. И. Лобачевский по существу вполне понимал несомненность самого факта этого равноправия, с полной определённостью высказав, что при логической безупречности обеих геометрических систем вопрос о том, какая из них осуществляется в физическом мире, может быть решён только опытом. Н. И. Лобачевский был первым, кто взглянул на математику как на опытную науку, а не как на абстрактную логическую схему. Он был первым, кто ставил опыты для измерения суммы углов треугольника; первым, кто сумел отказаться от тысячелетнего предрассудка априорности геометрических истин. Известно, что он любил часто повторять слова: "Оставьте трудиться напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость, спрашивайте природу, она хранит все тайны и на вопросы Ваши будет Вам отвечать непременно и удовлетворительно". В точку зрения Н. И. Лобачевского современная наука вносит лишь одну поправку. Вопрос о том, какая геометрия осуществляется в физическом мире, не имеет того непосредственного наивного смысла, который ему придавался во времена Лобачевского. Ведь самые основные понятия геометрии - понятия точки и прямой, родившись, как и всё наше познание, из опыта, не являются, тем не менее, непосредственно данными нам в опыте, а возникли лишь путём абстракции от опыта, в качестве наших идеализаций опытных данных, идеализации, только и дающих возможность приложения математического метода к изучению действительности. Чтобы пояснить это, укажем только, что геометрическая прямая, уже в силу одной своей бесконечности, не является - в том виде, как она изучается в геометрии, - предметом нашего опыта, а лишь идеализацией непосредственно воспринимаемых нами весьма длинных и тонких стержней или световых лучей. Поэтому невозможна окончательная опытная проверка аксиомы параллельных Евклида или Лобачевского, как невозможно и абсолютно точное установление суммы углов треугольника: все измерения любых физических данных нам углов всегда лишь приблизительны. Мы можем лишь утверждать, что геометрия Евклида является идеализацией действительных пространственных соотношений, вполне удовлетворяющей нас, пока мы имеем дело с "кусками пространства не очень большими и не очень малыми", т. е. пока мы не выходим ни в ту, ни в другую сторону слишком далеко за пределы наших обычных, практических масштабов, пока мы, с одной стороны, скажем, остаёмся в пределах солнечной системы, а с другой, - не погружаемся чересчур в глубь атомного ядра.

Положение меняется, когда мы переходим к космическим масштабам. Современная общая теория относительности рассматривает геометрическую структуру пространства как нечто зависящее от действующих в этом пространстве масс и приходит к необходимости привлекать геометрические системы, являющиеся "неевклидовыми" в гораздо более сложном смысле этого слова, чем тот, который связывается с геометрией Лобачевского.

Значение самого факта создания неевклидовой геометрии для всей современной математики и естествознания колоссально, и английский математик Клиффорд, назвавший Н. И. Лобачевского "Коперником геометрии", не впал в преувеличение. Н. И. Лобачевский разрушил догму "неподвижной, единственно истинной евклидовой геометрии" так же, как Коперник разрушил догму о неподвижной, составляющей незыблемый центр Вселенной - Земле. Н. И. Лобачевский убедительно показал, что наша геометрия есть одна из нескольких логически равноправных геометрий, одинаково безупречных, одинаково полноценных логически, одинаково истинных в качестве математических теорий. Вопрос о том, какая из этих теорий истинна в физическом смысле слова, т. е. наиболее приспособлена к изучению того или иного круга физических явлений, есть именно вопрос физики, а не математики, и притом вопрос, решение которого не дано раз и навсегда евклидовой геометрией, а зависит от того, каков избранный нами круг физических явлений. Единственной, правда значительной, привилегией евклидовой геометрии остаётся при этом то, что она продолжает быть математической идеализацией нашего повседневного пространственного опыта и поэтому, конечно, сохраняет своё основное положение как в значительной части механики и физики, так, тем более, во всей технике. Но философской и математической значительности открытия Н. И. Лобачевского это обстоятельство, конечно, не в силах умалить.

Таковы вкратце основные линии разносторонней культурной деятельности Николая Ивановича Лобачевского. Остаётся сказать ещё несколько слов о последних годах его жизни. Если 20-е и 30-е годы XIX в. были периодом высшего расцвета как творческой, так и научно-педагогической и организационной деятельности Н. И. Лобачевского, то со средины сороковых годов и притом совершенно внезапно для Н. И. Лобачевского наступает период бездействия и старческого догорания. Основным событием, принесшим с собою этот трагический перелом в жизни Н. И. Лобачевского, было увольнение его 14 августа 1846 г. от должности ректора. Это увольнение произошло без желания Н. И. Лобачевского и вопреки ходатайству совета университета. Почти одновременно произошло и увольнение его от должности профессора математики, так что с весны 1847 г. Н. И. Лобачевский оказался отстранённым фактически от всех своих обязанностей по университету. Это отстранение имело все черты грубой служебной дисквалификации, граничившей с прямым оскорблением.

Вполне понятно, что Н. И. Лобачевский, для которого его работа на университетском поприще была большой и незаменимой частью его жизни, воспринял свою отставку как тяжёлый, непоправимый удар. Особенно тяжёл был этот удар, конечно, потому, что он разразился в ту пору жизни Н. И. Лобачевского, когда его творческая научная работа была в основном уже завершена и, следовательно, университетская деятельность становилась основным содержанием его жизни. Если к этому прибавить исключительно активный характер Н. И. Лобачевского и созданную десятилетиями привычку его быть в организационных делах руководителем, а не рядовым участником, привычку, на которую он воистину имел право, то размеры постигшей его катастрофы станут вполне ясными. Личные горести дополнили чашу: умер любимый сын Н. И. Лобачевского, взрослый юноша, по свидетельству современников, очень похожий на отца и наружностью и характером. С этим ударом Н. И. Лобачевский никогда уже не смог справиться. Началась старость - преждевременная, но тем более гнетущая, с усиливавшимися признаками парадоксально раннего одряхления. Его здоровье быстро шло на убыль. Он стал терять зрение и к концу своей жизни совершенно ослеп. Последнее произведение "Пангеометрия" было им уже продиктовано. Разбитый жизнью, больной, слепой старик, он умер 24 февраля 1856 года.

Как учёный Н. И. Лобачевский является в полном смысле слова революционером в науке. Впервые пробив брешь в представлении о евклидовой геометрии как единственно-мыслимой системе геометрического познания, единственно-мыслимой совокупности предложений о пространственных формах, Н. И. Лобачевский не нашёл не только признания, но даже простого понимания своих идей. Потребовалось полвека для того, чтобы эти идеи вошли в математическую науку, сделались неотъемлемой её составной частью и явились тем поворотным пунктом, который определил в значительной мере весь стиль математического мышления последующей эпохи и с которого, собственно, начинается русская математика. Поэтому при своей жизни Н. И. Лобачевский попал в тяжёлое положение "непризнанного учёного". Но это непризнание не сломило его духа. Он нашёл выход в той разнообразной, кипучей деятельности, которая бегло очерчена выше. Сила личности Лобачевского восторжествовала не только над всеми трудностями мрачного времени, в которое он жил, восторжествовала она и над тем, что для учёного, может быть, труднее всего пережить: над идейной изоляцией, над полным непониманием того, что ему было дороже и нужнее всего - его научных открытий и идей. Впрочем, не следует винить его современников, среди которых были и крупные учёные, в том, что они не поняли Лобачевского. Его идеи далеко опередили его время. Из иностранных математиков лишь знаменитый Гаусс понял эти идеи. Но, владея ими, Гаусс никогда не имел мужества публично заявить об этом. Однако он понял и оценил Лобачевского. Ему принадлежит инициатива в единственной научной почести, выпавшей на долю Лобачевского: по представлению Гаусса Лобачевский был избран в 1842 г. членом-корреспондентом Геттингенского королевского общества наук.

Если право на бессмертие в истории науки Н. И. Лобачевский, несомненно, завоевал своими геометрическими работами, то не следует всё же забывать, что и в других областях математики он опубликовал ряд блестящих работ по математическому анализу, алгебре и теории вероятностей, а также по механике, физике и астрономии.

Имя Н. И. Лобачевского вошло в сокровищницу мировой науки. Но гениальный учёный всегда чувствовал себя борцом за русскую национальную культуру, каждодневным строителем её, живущим её интересами, болеющим её нуждами.

Главнейшие труды Н. И. Лобачевского: Полное собрание сочинений по геометрии, Казань, 1833, т. I (содержит: О началах геометрии, 1829; Воображаемая геометрия, 1835; Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам, 1836; Новые начала геометрии с полной теорией параллельных, 1835-1838); 1886, т. II (содержит сочинения на иностранных языках, в том числе: Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien, 1840, в которых Н. И. Лобачевский изложил свои идеи о неевклидовой геометрии); Геометрические изыскания о теории параллельных линий (русский перевод А. В. Летникова знаменитого мемуара Н. И. Лобачевского Geometrische Untersuchungen...), "Математический сборник", М., 1868, III; Пангеометрия, "Учёные записки Казанского университета", 1855; Полное собрание сочинений, М. - Л., Гостехиздат, 1946.

О Н. И. Лобачевском: Янишевский Е., Историческая записка о жизни и деятельности Н. И. Лобачевского, Казань, 1868; Васильев А. В., Николай Иванович Лобачевский, Спб., 1914; Синцов Д. М., Николай Иванович Лобачевский, Харьков, 1941; Николай Иванович Лобачевский (к 150-летию со дня рождения; статьи П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова), М. - Л., 1943; Николай Иванович Лобачевский (статьи Б. Л. Лаптева, П. А. Широкова, Н. Г. Чеботарёва), изд. АН СССР, М. - Л., 1943; Каган В. Ф., Великий учёный Н. И. Лобачевский и его место в мировой науке, М. - Л., 1943; его же, Н. И. Лобачевский, изд. АН СССР, М. -Л., 1944.

Г // ¿-g^/, f."jj^M

В.И. Башков, M.А. Малахальцев Геометрия Лобачевского и современное научное мировоззрение

В.И. Башков", М.А. Малахальцев2

"Кафедра теории относительности и гравитации. Казанский университет 2Кафедра геометрии, Казанский университет [email protected], [email protected]

ГЕОМЕТРИЯ ЛОБАЧЕВСКОГО И СОВРЕМЕННОЕ НАУЧНОЕ МИРОВОЗЗРЕНИЕ

Неевклидова геометрия, история ее создания и развития, судьбы ее творцов находились и находятся в центре

внимания историков математики, всего математического сообщества. Это неудивительно, поскольку открытие геометрии, отличной от евклидовой, привело не только, и не столько к преобразованию математической теории, но к кардинальному преобразованию мировоззрения человечества, философской картины мира. Можно смело утверждать, что мышление наших современников, даже тех, кто и не слышал о геометрии Лобачевского, сформировано под влиянием этого открытия.

В рамках короткой заметки, конечно, невозможно подробно рассказать ни об истории неевклидовой геометрии, ни раскрыть ее содержание. Впрочем, в настоящее время существует обширная литература на эту тему, для первого ознакомления можно посоветовать книги (Нор-ден, 1953; Васильев, 1992). Поэтому, наша цель здесь лишь попытаться в какой-то мере раскрыть значение открытия неевклидовой геометрии.

Сейчас уже трудно сказать, когда впервые человечество задумалось о необходимости логического обоснования математических правил. В течение долгого времени эти правила - фактически, результаты непосредственного опыта - передавались от поколения к поколению, сначала как тайные знания жрецов древнего Египта, потом как прикладные знания, необходимые для разметки земель и строительства различных сооружений. Исторические памятники, сохранившиеся до наших дней, свидетельствуют, что люди их создавшие владели геометрическими методами не хуже выпускников современной средней школы. Тем не менее, структура этих знаний была отлична от современной, не было той стройной логической системы, которой отличается современная математика. Вероятно в такой системе просто не было необходимости. Почему же такая необходимость появилась, в какой конкретной форме было первоначально осуществлено построение теории - вопрос непростой и достаточно активно обсуждаемый и в настоящее время (здесь стоит отметить одно из последних исследований (Pont, 1986)).

Первое сочинение, дошедшее до нас, но не непосредственно, а после многочисленных переписываний, есть «Начала» Евклида. В ней геометрия впервые предстает в виде логической системы, опирающейся на ряд утверждений, принимаемых без доказательства, назван-

Рис. 2. В неевклидовой геометрии через точку, не лежащую на прямой I, можно провести бесконечно много прямых, не пересекающих I.

ных аксиомами и постулатами (отметим, что различие между постулатами и аксиомами обсуждается, например, в (Pont, 1986)). В частности, формулируется и V постулат, гласящий (в современной формулировке), что через точку проходит не более одной прямой, не пересекающей данную. Этот постулат формулировался сложнее первых четырех, причем само утверждение о том, что (см. рис. 1) при а + (3 < 180°, прямая / обязательно пересечет Г (другая формулировка этого же постулата) не столь очевидно, как, например, утверждение, что через две точки проходит единственная прямая.

Стоит еще отметить, что в то время эти утверждения воспринимались как законы, непосредственно относящиеся к физическому миру, недаром Евклид дает определения (объяснения) объектов, с точки зрения современной геометрии "неопределяемых", например, "точка есть то, что не имеет частей". Естественным было стремление минимизировать количество основных законов, взятых из непосредственной практики.

Еще во времена Евклида было предложено несколько доказательств V постулата, однако вскоре выяснилось, что они содержат ошибки. Попытки доказать V постулат продолжались около двух тысяч лет (что интересно, дилетанты еще и сегодня пытаются его доказать), однако каждый раз при внимательном анализе в доказательстве обнаруживались ошибки. Сложилась даже некоторая

традиция работа, рис. 4. Псевдосфера - поверхность, посвященная доказа- на которой локально реализуется

тельству пятого по- геометрия Лобачевского.

12 Георесурсы 3/71,2001

В.И. Башков, М.А. Малахальцев Геометрия Лобачевского и современное научное мировоззрение

стулата, состояла из двух частей:

1) разбор ошибок в доказательствах предшественников,

2) новое, на этот раз абсолютно истинное, доказательство V постулата.

Естественно, что в очередной работе пункт 2) переходил в пункт 1), и "старое начиналось сызнова". К началу XIX века сложилась "патовая ситуация": евклидова геометрия была образцом строгости и стройности построения научной теории, она успешно применялась на практике, никто не сомневался в том, что она верно описывает законы мира (да и повода не было усомниться), оставалось лишь одно досадное недоразумение - К постулат, но он никак не хотел поддаваться усилиям математиков! Недаром Яноша Бойяи предостерегал отец, что размышления над загадкой V постулата его погубят, и хотя Янош и разгадал эту загадку, так оно и вышло...

Впрочем, вскоре проблема V постулата была решена, но совсем не так, как ожидалось - оказалось, что его невозможно доказать! Именно, трое ученых: Я. Бойаи, К.Ф. Гаусс и Н.И. Лобачевский пришли к выводу, что существует геометрия, в которой пятый постулат не выполняется, то есть, существует неевклидова (отличная от евклидовой)геометрия.

Первооткрыватели неевклидовой геометрии были, без сомнения, духовно мужественными людьми. Ведь новая геометрия прямо противоречила всем представлениям о пространстве. Уже само отрицание V постулата - "V постулат неевклидовой геометрии" - влечет существование не двух, а бесконечного множества прямых, проходящих через данную точку и не пересекающих данную прямую (рис. 2).

Но это только начало. Оказалось, что в новой геометрии сумма углов треугольника непостоянна и меньше 180°, что любые два подобных треугольника равны, через точку внутри угла можно провести прямую, не пересекающую стороны этого угла!

Каждый шаг, каждый новый факт прямо противоречил наглядным геометрическим представлениям, человеческой природе восприятия мира. И, несмотря на это, и Я. Бойаи, и К.Ф. Гаусс, и Н.И. Лобачевский нашли мужество сделать вывод, что такая геометрия действительно существует!

Но силы человека ограничены, и новое знание дается нелегко. Трагически сложилась судьба Я. Бойаи, отказывался обсуждать публично тему неевклидовой геометрии К.Ф. Гаусс. Слишком непросто приходится тем, кто сталкивается с принципиально новым, и странно слышать слова осуждения Гаусса от людей, перед которыми никогда не стояла мировоззренческая, подчеркнем, не математическая, а именно мировоззренческая проблема такого масштаба.

Мы можем лишь поразиться личному мужеству Николая Ивановича Лобачевского, который, несмотря на непонимание современников и даже их удивление тому, что столь уважаемый человек, ректор Казанского университета, позволяет себе настаивать на существовании какой-то воображаемой геометрии, последовательно публиковал работы по неевклидовой геометрии. Он приводил новые доказательства ее существования, показал, что евклидова геометрия является предельным случаем не-

евклидовой, стремился развить новую геометрию столь же глубоко, как была развита в его время евклидова геометрия.

Вскоре после смерти Лобачевского было замечено, что неевклидова геометрия локально реализуется, как внутренняя геометрия поверхностей отрицательной кривизны, например, псевдосферы, рис. 4 (кстати, понятие "внутренняя геометрия поверхности" было введено К.Ф. Гауссом).

Отметим, что это только локальная реализация, то есть плоскость Лобачевского целиком нельзя представить как поверхность в трехмерном евклидовом пространстве (теорема Ефимова), и в этом смысле неверно говорить, что геометрия Лобачевского есть геометрия поверхности. Геометрия Лобачевского сложнее, и это еще раз показывает, с какими трудностями пришлось столкнуться создателям неевклидовой геометрии.

Позже были найдены и другие модели и интерпретации геометрии Лобачевского, в частности, в рамках проективной геометрии, и все это привело к самому, на наш взгляд, важному результату открытия неевклидовой геометрии. Было осознано, что мы в процессе познания строим различные модели мира: геометрическую, физическую и т.д., но модель не тождественна миру, она лишь отражает или интерпретирует некоторые его свойства. Геометрия же изучает уже не непосредственно мир, а одну из его моделей. В окончательном виде это понимание было зафиксировано Д. Гильбертом, который создал современную аксиоматику геометрии, ввел неопределяемые понятия и сформулировал аксиомы, как "правила игры" с этими понятиями, то есть, фактически, как заранее заданные свойства математической модели. Объясняя свою мысль, он говорил, что мы можем считать точки пивными кружками, а прямые - столами, главное, чтобы выполнялись аксиомы. Впоследствии это привело к пониманию математики как науки, изучающей математические структуры. Наиболее последовательно эта точка зрения проведена Н. Бурбаки в его знаменитых "Elementes de Mathématique" ("Элементы математики" - основные составляющие части, основания математики) уже во второй половине XX века. Этот труд и подвел итог, по крайней мере, с современной точки зрения, столетней работы по освоению неевклидовой геометрии.

Подведем итог и мы. В результате открытия неевклидовой геометрии:

1. Евклидова геометрия стала математической теорией, то есть одной из возможных математических моделей окружающего мира.

2. Произошло окончательное самоопределение математики как науки, изучающей математические структуры мира. Появилось современное понимание систем аксиом и понятие модели.

3. Была осознана невозможность построения единой окончательной модели мира и одновременно необходимость поиска связи между различными моделями - связи, обусловленной единством мира.

Литература

Норден А.П. Элементарное введение в геометрию Лобачевского,

М. Гос. изд-во техн.-теор. лит-ры, 1953.

Васильев А.В. Николай Иванович Лобачевский. М. Наука. 1992.

Pont J.C. L"aventure des parallèles, PeterLang, Berne, 1986.

Георесурсы 317], 2001

Николай Иванович Лобачевский (1792-1856) – великий русский математик, гениальный создатель неевклидовой геометрии, иностранный член-корреспондент Геттингенского королевского научного общества. Открытие новой геометрии сыграло революционную роль в развитии не только геометрии, но и всей математической науки. Это прорывное открытие завершило практически двухтысячелетнюю историю проблемы обоснования геометрии, связанной с пятым постулатом Евклида и вытекающей из него теорией параллельных линий, положив конец бесплодным попыткам доказательства этого постулата.

Николай Иванович Лобачевский родился 20 ноября (1 декабря по новому стилю) 1792 г. в Нижнем Новгороде, в семье уездного землемера С.С. Шебаршина. Вскоре его отец умер, семья (мать и три сына, из которых Николай был средним) переехала в Казань. В 1802 г. энергичной Прасковье Александровне Лобачевской удалось добиться поступления своих сыновей в Казанскую гимназию на казенное содержание («казенный кошт»).

Казанская гимназия основанная в 1758 г. одной из первых в России под патронажем Московского университета, влачила довольно жалкое существование и была практически восстановлена в 1798 г. Очень удачный подбор преподавателей предопределил высокое качество естественнонаучной и прежде всего математической подготовки, особенно следует отметить воспитанника Московского университета Г.И. Карташевского, первого учителя математики Н.И. Лобачевского. Он был прекрасно образованным математиком, замечательным педагогом и очень отзывчивым человеком, имевшим очень большое влияние на Лобачевского. В гимназии царил довольно суровый режим, курс обучения был краток и труден. За время обучения в гимназии Лобачевский аттестовался как «весьма прилежный и благонравный ученик, в конце гимназического курса занимающийся с особенным прилежанием математикой и латинским языком».

В 1804 г. фактически при гимназии был открыт Казанский университет. Директор гимназии И.Ф. Яковкин был назначен профессором и инспектором университета, другие преподаватели гимназии, в том числе и Карташевский, - адъюнктами (доцентами) университета. В феврале 1807 г., пятнадцатилетним юношей, Лобачевский был «перечислен» из Казанской гимназии в Казанский университет.

Академик С. Я. Румовский, бывший с 1803 г. попечителем Казанского учебного округа, основное внимание уделил подбору высококвалифицированного преподавательского состава, что ему блестяще удалось. В только что открытый провинциальный университет приехали первоклассные иностранные математики, в том числе М.Ф. Бартельс, Ф.К. Броннер, К.Ф. Реннер и И.И. Литтров. У Бартельса Лобачевский учился чистой математике, у Литтрова – астрономии, у Броннера – физике и у Реннера – прикладной математике.

Профессор Бартельс, будучи выдающимся педагогом (он был в молодые годы и школьным учителем математики великого Гаусса), стал вторым учителем математики Н.И. Лобачевского. Он сумел поставить обучение математике в Казани на очень высокий уровень, опираясь в своем изложении на лучшие математические сочинения того времени. Интересно, что он излагал студентам и историю математики. Анализ он читал, следуя Эйлеру и Лакруа, дифференциальную геометрию – по Монжу, основные разделы теории чисел по Гауссу. Таким образом, студенты-математики воспитывались на трудах признанных классиков математики и механики. Лучших своих учеников он приучал к самостоятельной работе над их исследованиями. Бартельс высоко оценил царящий среди студенчества Казанского университета дух стремления к знаниям и культуре. Он отмечал, что «нашел в Казани, несмотря на незначительное число студентов, необыкновенно много любви к изучению математических наук».

Среди лучших учеников, а их насчитывалось около 20 человек, Бартельс быстро выделил Лобачевского, обладавшего блестящими математическими способностями. В 1811 г. Бартельс в отзыве попечителю учебного округа так характеризовал его успехи: «О искусстве последнего (Лобачевского) предложу хотя один пример. Лекции свои располагаю я так, что студенты мои в одно и то же время бывают слушателями и преподавателями. По сему правилу поручил я перед окончанием курса старшему Лобачевскому предложить под моим руководством пространную и трудную задачу о вращении, которая мною для себя уже была по Лагранжу в удобопонятном виде обработана. <…> Лобачевский при окончании последней лекции подал мне решение сей столь запутанной задачи …”. Он же говорил, что “Лобачевский оказал столько успехов, что даже во всяком немецком университете он был бы отличным”.

В 1811 г. Лобачевский по рекомендации Бартельса, который указывал на его “чрезвычайные успехи и таковые же дарования в науках математических и физических”, получил звание магистра и начал подготовку к научной деятельности под руководством Бартельса и к преподаванию арифметики и геометрии чиновникам, готовившимся к сдаче экзаменов на чин, а затем и к работе в самом университете. В марте 1814 г. Лобачевский был произведен в адъюнкты, а в августе 1816 г. в звании экстраординарного профессора получил кафедру математики. В 1822 г. он был назначен ординарным профессором.

В эти годы он читал теорию чисел, алгебру, математический анализ, сферическую тригонометрию, а также разделы элементарной математики, входившие в то время в университетский курс. Лобачевский также преподавал в течение 1819–1821 физику и астрономию, заменяя участвовавшего в кругосветной экспедиции Беллингсгаузена своего однокашника И.М. Симонова, впоследствии выдающегося астронома.

В 30–40-е гг. Лобачевский читал курсы интегрального исчисления, интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, интегрирования уравнений с частными производными и вариационного исчисления. Читал Лобачевский по собственным конспектам, по воспоминаниям одного из слушателей, «в аудитории он заботился об изложении со всею ясностью, но любил более сам учить, нежели излагать по авторам, предоставив слушателям самим познакомиться с подробностями учебной литературы».

Лекции Лобачевский излагал простым и общедоступным языком, «без желания придать внешнюю красоту своей речи, без риторической эмфазы и крика; в словах его слышался и его логический ум и широкое образование. Спокойным ровным голосом он делал свои широкие обобщения, вызывал увлекательные образы и возбуждал мысль». В аудитории Лобачевский мог быть «глубокомысленным или увлекательным, смотря по предмету изложения; при этом заботился об изложении со всею ясностью, решая сначала частные задачи по способу синтетическому, а потом доказывая общие предложения по способу аналитическому… Он чертил на доске не скоро, старательно, формулы писал красиво, дабы воображение слушателей воспроизводило с удовольствием предметы преподавания».

Экзаменатором Лобачевский был весьма строгим, «требовал, чтобы студенты, отвечая на вопрос, выражались точно, отчетливо и с ясным пониманием того, что говорят, причем часто останавливал студента вопросами, касающимися не вычисления собственно, а понимания того, что делается; нередко сам брал мел в руки и чрезвычайно просто и понятно объяснял студенту то, что, видимо, он не усвоил себе». Несмотря на строгость, студенты любили Лобачевского и чувствовали в нем первоклассного ученого, отличающегося широтой математического и общего образования.

Мировую известность принесла Н.И. Лобачевскому его научная деятельность. Он создал новую, так называемую «воображаемую геометрию», изменив представление о самой математике, ее основах. До создания неевклидовой геометрии аксиома считалась безусловной истиной, не требующей доказательств в силу своей очевидности. Знаменитый пятый постулат о параллельных также не вызывал сомнений по своей сути, однако «сложный характер его формулировки и относительно меньшая самоочевидность обратили на него особенное внимание геометров».

Попытки его доказательства продолжались в течение почти 2 тыс. лет, но к началу XIX в. проблема параллельных оставалась неразрешенной. Лобачевский решил ее совершенно неожиданно и кардинально, заменив «очевидный» постулат о параллельных «неочевидным» предложением, являющимся его отрицанием. Это был абсолютно революционный факт, изменяющий представление о логическом строении всей математики.

Лобачевский очень рано заинтересовался теорией параллельных линий. Поразительно, что он никогда не читал в университете лекций по высшим разделам геометрии и первые идеи новой геометрии пришли к нему при глубоком анализе курса элементарной геометрии, которые он читал с самого начала своей преподавательской деятельности. В лекциях, которые он читал в 1815-1817 гг., он по примеру многих поколений предшественников, еще пытался найти доказательство постулата о параллельных, но впоследствии он сам увидел ошибочность своих рассуждений и нигде их не опубликовал. В рукописном учебнике элементарной геометрии (1823) Лобачевский уже отказывается от попыток доказательства пятого постулата: «Строгого доказательства сей истины до сих пор не могли сыскать; какие были даны, могут назваться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле математическими доказательствами».

11 (23) февраля 1826 г. Лобачевский представил текст, написанный на французском языке, под заглавием «Ехроsition succincte des principes de geometrie aves une demonstration rigoureuse du theoreme des parallelles». В препроводительной бумаге Лобачевский просил рассмотреть его работу и в случае одобрения напечатать ее в намеченных к тому времени к изданию «Ученых записках университета». Однако рецензенты не представили никакого отзыва, текст этот так никогда и не был напечатан, рукопись была утеряна.

В 1829 и 1830 гг. в 5 книжках университетского журнала «Казанский вестник» Лобачевский опубликовал сочинение «О началах геометрии». Оно содержит извлечения из «Ехроsition succincte…», дополненные развитием этого исследования. В ней изложены следующие вопросы:
1)абсолютная геометрия,
2)основы «воображаемой геометрии,
3)вопрос о геометрии реального пространства,
4)аналитическая и дифференциальная геометрия неевклидова пространства и вычисление длин, площадей, поверхностей и объемов,
5)сравнение интегралов и найденные вновь определенные интегралы.

Во вступлении Лобачевский совершенно определенно говорит о цели своего исследования: «Нигде в математике нельзя терпеть такого недостатка строгости, какой принуждены мы допустить в теории параллельных линий… Здесь намерен я изъяснить, каким образом думаю пополнить такие пропуски в геометрии. Изложение всех моих исследований потребовало бы … представления совершенно в новом виде всей науки». Из этой оценки видно, что Лобачевский совершенно отчетливо представлял значение своих исследований для развития всей математической науки.

Заменив пятый постулат его отрицанием, Лобачевский построил «воображаемую геометрию» – собственную геометрическую систему, отличную от евклидовой. Она включала в себя ряд внешне парадоксальных теорем, например, теорему о том, что сумма углов треугольника всегда меньше двух прямых и, вообще говоря, меняется от треугольника к треугольнику. Поэтому нужны были дополнительные доказательства ее жизненности. Эти доказательства Лобачевский искал в решении двух проблем: первая – какова геометрия видимого мира, вторая – как строго доказать непротиворечивость новой геометрии.

Для решения первой проблемы он, будучи хорошим астрономом, привлек астрономические данные о параллаксах неподвижных звезд и пришел к заключению, что «все линии, которые подлежат нашему измерению, даже расстояния между небесными телами, столько малы в сравнении с линиею, принятою в теории за единицу, что употребительные до сих пор уравнения прямолинейной Тригонометрии без чувствительной погрешности должны быть справедливы».

Таким образом, Лобачевский показал, что наши геометрические представления сложились в результате наблюдений хотя и чрезвычайно продолжительных, но «происходивших в весьма небольшом участке мироздания, в пределах которого они возникли в упрощенном виде». Эти представления при попытке их распространения на все мироздания составляют иллюзию, подобно тому, как иллюзию составляло убеждение, что Земля плоская.

Для решения второй проблемы Лобачевский прибегнул к приему, не обладающему строгой доказательностью, но подкреплявшему уверенность в непротиворечивости новой геометрии: он вывел интегральные формулы измерения фигур в новой геометрии и показал совпадение результатов со значениями тех же интегралов, полученных чисто аналитически.

В сочинении «О началах геометрии» намечены все вопросы, которые подробнее развивались в последующих геометрических исследованиях Лобачевского: «Воображаемая геометрия» (1835), «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1835-1838), «Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836), Геометрические исследования о параллельных линиях» (1840), «Пангеометрия» (1855). Его идеи становятся известны за рубежами страны: в 1837 и 1840 гг. он издает за границей мемуары на французском и немецком языках.

Такая широкая пропаганда идей Лобачевского вызвала неоднозначную реакцию в математическом сообществе. Дело в том, что идеи неевклидовой геометрии, начиная с 1810-х гг., обдумывал великий Гаусс, но не решался их обнародовать, опасаясь «крика бейотийцев (глупцов), который поднимется, когда я выскажу свои воззрения целиком». Кроме того, теорией параллельных занимался молодой венгерский математик Янош Больяи, который независимо от Лобачевского, но на три года позже (1832) опубликовал знаменитый теперь «Appendix» с изложением элементов неевклидовой геометрии.

Гаусс, познакомившись с трудами Лобачевского и Больяи, не осмелился оказать им открытую поддержку. Косвенное одобрение трудам Лобачевского Гаусс выразил тем, что в 1842 г., через два года после издания в Германии “Геометрических исследований по теории параллельных линий”, рекомендовал его в члены Геттингенского научного общества. Естественно, Лобачевский испытал большое удовлетворение от признания его Гауссом, слава о котором дошла до него еще в университетские годы через их общего учителя Бартельса. Он ответил благодарственным письмом. Другие связи Лобачевского с Геттингенским королевским обществом наук не установлены.

Иначе обстояло дело на родине. Впрочем, новая геометрия настолько парадоксальна, что крайне недоверчивое отношение к ней на первых порах, по всей видимости, вполне естественно. Лобачевский просто значительно опередил свой век. Не только не оценили, но и не поняли его трудов в Казанском университете. Так, проф. Бартельс смотрел на его геометрические работы “более как на интересные и остроумные исследования, чем как на работу, полезную для прогресса науки”. И это самая мягкая из оценок. Чаще же всего его открытие вызывало иронию, в лучшем случае – безразличие, иногда – прямую вражду и издевательства.

Не встретила понимания новая геометрия и в российских академических кругах. Так, академик В.Я. Буняковский в своем сочинение “Параллельные линии” (1835) даже не упомянул заслуг Лобачевского в разработке теории параллельных, обойдя его имя полным молчанием. Заметим, что в 1872 г. Буняковский посвятил Лобачевскому специальный мемуар “Рассмотрение некоторых странностей, имеющих место в построениях неевклидовой геометрии”. В нем он пытался опровергнуть геометрию Лобачевского, но все же с уважением отнесся к его имени и очень лестно отзывался о его математическом гении.

В 1834 г. в булгаринском “Сыне отечества” на работу “О началах геометрии” появился отзыв, который скорее можно назвать пасквилем. Его авторы не стеснялись в выражениях и обвиняли Лобачевского в невежестве, наглости, отсутствии здравого смысла, а сам мемуар высмеивался как сатира или карикатура на геометрию. Лобачевский тяжело переживал эту критику, тем более, что его ответ, посланный в редакцию “Сына Отечества” не был опубликован. Пасквиль был анонимен, но авторство приписывают чаще всего кому-то из окружения замечательного русского математика академика М.В. Остроградского. Кстати, и в немецкой печати появились издевательские статьи о работах Лобачевского.

Потребовалось почти полстолетия, чтобы идеи Лобачевского вошли в математику и стали восприниматься как поворотный пункт, “который определил почти весь стиль математического мышления последующей эпохи”. Кстати, первый отзыв позитивного характера, появился в русском журнале “Отечественные записки” в 1856 г. в анонимной рецензии на “Пангеометрию” Лобачевского, опубликованную годом ранее в “Ученых записках Казанского университета”. Этот научный труд характеризовался в рецензии как “последнее слово” в желании Лобачевского довести геометрию “до крайней строгости”. В заключение рецензент признавал рассуждения Лобачевского весьма любопытными в том отношении, что оно “показывает тесную связь между всеми математическими истинами”. Автор рецензии считает, что чтение труда Лобачевского “весьма затруднительно” и требует солидной специальной подготовки.

Настоящее же признание идей Лобачевского началось в конце 50-х годов, когда после смерти Гаусса (1855) приступили к изданию его переписки. В одном из писем, датированном 1840 г., Гаусс дает восторженную оценку работе Лобачевского “Геометрические исследования о параллельных линиях”. В математическом сообществе авторитет Гаусса был чрезвычайно высок, сочинение Лобачевского стали внимательно изучать, прониклись сознанием глубины и своеобразия изложенных в нем идей. В течение нескольких лет его перевод появился на всех культурных языках мира, о Лобачевском заговорили на родине.

Интересно, что когда идеи Лобачевского возродились, их развитие пошло очень высокими темпами. Геометрической системе Лобачевского посвящалось все большее количество исследований. Особенный интерес в этом отношении представляет работа (1868) итальянского математика Бельтрами, который обнаружил в евклидовом пространстве поверхности, на которых осуществляется геометрия Лобачевского, что сразу же лишило ее того “фантастического налета, который вызывал отрицательное к ней отношение”. Вслед за ним разработкой новых геометрических идей занимаются крупнейшие математики мира – Риман, Пуанкаре, Клейн, Ли, Пеано, Гильберт и др. В этих исследованиях рамки учения о пространстве существенно раздвигаются, возникают обширные исследования о различных геометрических системах, исследования же их непротиворечивости приводят к разработке новых представлений об аксиоматическом методе и его мощных возможностях. Но гениальный автор этих идей уже не дождался своего триумфа, он ушел из жизни непризнанным, но убежденным в своей правоте, проявив удивительную силу воли, несгибаемую убежденность и недюжинный характер.

Вернемся в 20-30-е гг. Много сил, времени и энергии Н.И. Лобачевский отдавал и административной работе в Казанском университете. В 1920 г. Лобачевский становится деканом физико-математического отделения. Это было время, которое в истории Казанского университета названо “эпохой Магницкого”. Оно характеризуется, как самая мрачная ее страница. Историограф его Н.П. Загоскин так описывал этот период: “Магницкий быстро свел счеты с личным составом университета, разогнав часть профессоров, терроризировав оставленных им на службе и пополнив его своими креатурами. Он совершенно подчинил себе совет университета, сделав его покорным и бессловесным орудием своей воли и своих обновительных измышлений”.

На первых порах взаимоотношения между Лобачевским и Магницким были достаточно благоприятные. Последний предложил Лобачевскому две кафедры – физики и астрономии, ввел его в строительный комитет, поручил упорядочить университетскую библиотеку и пр. С течением времени эти отношения начали портиться, так как Лобачевский не хотел быть послушным орудием Магницкого. В 1821 г. он уклонился от произнесения актовой речи, в 1822 г. отказался от должности секретаря совета университета. В связи с этим было заведено целое дело “о неблагопристойностях и противностях”, которые якобы позволил себе Лобачевский. Все годы правления Магницкого от профессоров сыпались жалобы и докладные записки в Министерство народного просвещения о том, что творилось в университете. Магницкий со своей стороны засыпал министерство доносами на тех, кто не подчинялся его режиму, в результате чего, наконец, не только был отстранен от должности, но и выслан в Ревель.

На его место был назначен граф М.Н. Мусин-Пушкин, перед которым встала задача “оздоровить еще молодой, но уже искалеченный Казанский университет, вдохнуть в него научную жизнь, сделать из него тот очаг просвещения, который был так необходим стране”. Совет университета, по-видимому, при поддержке Мусина-Пушкина, в 1827 г. избрал ректором тридцатитрехлетнего Н.И. Лобачевского, который мог справиться с этой задачей. На этой должности Лобачевский продемонстрировал глубокую преданность интересам университета, постоянную заботу о его материальной основе и духовной жизни, тактичность по отношению к профессуре, внимание к жизни студенчества. Как сказал очень известный советский математик П.С. Александров, даже если бы Лобачевский не оставил “ни одной строчки самостоятельных научных исследований, мы должны были бы вспоминать о нем, как о значительнейшем нашем университетском деятеле, как о человеке, который высокому званию ректора университета дал такую полноту содержания, которой ему не придавал, по-видимому, никто другой из лиц, носивших это звание, – до, во время или после Лобачевского”. Об уважении, которое он завоевал в качестве ректора, можно судить по тому, что он избирался на этот пост 6 раз, на протяжении без малого 20 лет. Первой и, может быть, главной его заслугой было то, “что он сумел внести мир и успокоение в возбужденную и расщепленную среду профессоров университета”.

Университет был укреплен новыми научными силами, библиотека стала одним из богатейших книгохранилищ страны, создан научный печатный орган университета – “Ученые записки императорского Казанского университета”. К сожалению, мы не можем подробно останавливаться на деятельности Лобачевского на посту ректора. Отметим только, что свои обязанности он понимал чрезвычайно широко, вникая в детали всех повседневных дел университета: “Ни одно событие университета, ни один сколько-нибудь важный факт его истории с самого начала до настоящего времени не могут быть упомянуты без имени Лобачевского. Его благородная жизнь тесно и неразлучно сплеталась с историей Казанского университета; она есть живая летопись университета, его надежд и стремлений, его возрастания и развития”. Можно без преувеличения сказать, что Н.И. Лобачевский вслед за С.Я. Румовским создал Казанский университет. Все же главной своей заботой он считал воспитание юношества. Свои чрезвычайно любопытные взгляды на эту проблему он изложил в речи “О важнейших предметах воспитания”.

В 1846 г. Лобачевский в шестой раз был избран ректором университета на очередное четырехлетие, однако в августе следующего года исполнялось 30 лет со времени назначения его профессором. По уставу это был максимальный срок, в течение которого профессор мог занимать кафедру. Совет Казанского университета возбудил перед министром просвещения ходатайство об оставлении Лобачевского в профессорской коллегии на посту ректора. Но Лобачевский отказался от такого лестного предложения и подал в отставку. После этого Лобачевский был назначен на сравнительно второстепенный пост в Казанском учебном округе, причем его прямым руководителем вскоре оказался казанский помещик, достаточно малообразованный генерал Молоствов. Отстранение от дела всей его жизни, окорбительное подчинение Молоствову, личные тяжелые невзгоды и прежде всего смерть горячо любимого сына, расстроенные материальные обстоятельства, непризнание научных результатов – все это резко подорвало его здоровье, очень быстро привело к полному одряхлению.

В 1855 г. праздновалось 50-летие Казанского университета. Именно к этому юбилею Лобачевский опубликовал свой завершающий труд под новым названием “Пангеометрия”, который, как считает В.Ф. Каган, носит характер научного завещания великого ученого. К этому времени он практически ослеп и диктовал это сочинение двум своим ученикам. 12 (24) февраля 1856 г. Лобачевский скончался. В последний путь его провожало высшее руководство Казанского учебного округа и Казанского университета, студенты и воспитанники обоих казанских гимназий, бывшие ученики и почитатели его многочисленных талантов.

В 1895 г. Казанское физико-математическое общество учредило Международную премию им. Н.И. Лобачевского за труды по геометрии, преимущественно неевклидовой. Именем Лобачевского назван кратер на обратной стороне Луны.

См.подробнее:

Болгарский Б.В. Идеи Н.И. Лобачевского в области методики математики // Математика в школе №2, 1952. C.1-7.