Математическое моделирование

1. Что такое математическое моделирование?

С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и ЭВМ. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель - это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования - исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование - это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы...» Невозможно проверить правильность той или иной космологической теории. В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

2. Основные этапы математического моделирования

1) Построение модели . На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект - явление природы, конструкция, экономический план, производственный процесс и т. д. При этом, как правило, четкое описание ситуации затруднено. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними на качественном уровне. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Это самая трудная стадия моделирования.

2) Решение математической задачи, к которой приводит модель . На этом этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на ЭВМ, при помощи которых результат может быть найден с необходимой точностью и за допустимое время.

3) Интерпретация полученных следствий из математической модели. Следствия, выведенные из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.

4) Проверка адекватности модели. На этом этапе выясняется, согласуются ли результаты эксперимента с теоретическими следствиями из модели в пределах определенной точности.

5) Модификация модели. На этом этапе происходит либо усложнение модели, чтобы она была более адекватной действительности, либо ее упрощение ради достижения практически приемлемого решения.

3. Классификация моделей

Классифицировать модели можно по разным критериям. Например, по характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. При этом одни из них рассматриваются как независимые переменные, а другие - как функции от этих величин. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф - это математический объект, представляющий собой некоторое множество точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены линиями (ребрами).

По характеру исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

4. Примеры математических моделей

1) Задачи о движении снаряда.

Рассмотрим следующую задачу механики.

Снаряд пущен с Земли с начальной скоростью v 0 = 30 м/с под углом a = 45° к ее поверхности; требуется найти траекторию его движения и расстояние S между начальной и конечной точкой этой траектории.

Тогда, как это известно из школьного курса физики, движение снаряда описывается формулами:

где t - время, g = 10 м/с 2 - ускорение свободного падения. Эти формулы и дают математическую модель поставленной задачи. Выражая t через x из первого уравнения и подставляя во второе, получим уравнение траектории движения снаряда:

Эта кривая (парабола) пересекает ось x в двух точках: x 1 = 0 (начало траектории) и (место падения снаряда). Подставляя в полученные формулы заданные значения v0 и a, получим

ответ: y = x – 90x 2 , S = 90 м.

Отметим, что при построении этой модели использован ряд предположений: например, считается, что Земля плоская, а воздух и вращение Земли не влияют на движение снаряда.

2) Задача о баке с наименьшей площадью поверхности.

Требуется найти высоту h 0 и радиус r 0 жестяного бака объема V = 30 м 3 , имеющего форму закрытого кругового цилиндра, при которых площадь его поверхности S минимальна (в этом случае на его изготовление пойдет наименьшее количество жести).

Запишем следующие формулы для объема и площади поверхности цилиндра высоты h и радиуса r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Выражая h через r и V из первой формулы и подставляя полученное выражение во вторую, получим:

Таким образом, с математической точки зрения, задача сводится к определению такого значения r, при котором достигает своего минимума функция S(r). Найдем те значения r 0 , при которых производная

обращается в ноль:Можно проверить, что вторая производная функции S(r) меняет знак с минуса на плюс при переходе аргумента r через точку r 0 . Следовательно, в точке r0 функция S(r) имеет минимум. Соответствующее значение h 0 = 2r 0 . Подставляя в выражение для r 0 и h 0 заданное значение V, получим искомый радиус и высоту

3) Транспортная задача.

В городе имеются два склада муки и два хлебозавода. Ежедневно с первого склада вывозят 50 т муки, а со второго - 70 т на заводы, причем на первый - 40 т, а на второй - 80 т.

Обозначим через a ij стоимость перевозки 1 т муки с i-го склада на j-й завод (i, j = 1,2). Пусть

a 11 = 1,2 р., a 12 = 1,6 р., a 21 = 0,8 р., a 22 = 1 р.

Как нужно спланировать перевозки, чтобы их стоимость была минимальной?

Придадим задаче математическую формулировку. Обозначим через x 1 и x 2 количество муки, которое надо перевезти с первого склада на первый и второй заводы, а через x 3 и x 4 - со второго склада на первый и второй заводы соответственно. Тогда:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Общая стоимость всех перевозок определяется формулой

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4 .

С математической точки зрения, задача заключается в том, чтобы найти четыре числа x 1 , x 2 , x 3 и x 4 , удовлетворяющие всем заданным условиям и дающим минимум функции f. Решим систему уравнений (1) относительно xi (i = 1, 2, 3, 4) методом исключения неизвестных. Получим, что

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4 , x 3 = 70 – x 4 , (2)

а x 4 не может быть определено однозначно. Так как x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), то из уравнений (2) следует, что 30Ј x 4 Ј 70. Подставляя выражение для x 1 , x 2 , x 3 в формулу для f, получим

f = 148 – 0,2x 4 .

Легко видеть, что минимум этой функции достигается при максимально возможном значении x 4 , то есть при x 4 = 70. Соответствующие значения других неизвестных определяются по формулам (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Задача о радиоактивном распаде.

Пусть N(0) - исходное количество атомов радиоактивного вещества, а N(t) - количество нераспавшихся атомов в момент времени t. Экспериментально установлено, что скорость изменения количества этих атомов N"(t) пропорциональна N(t), то есть N"(t)=–l N(t), l >0 - константа радиоактивности данного вещества. В школьном курсе математического анализа показано, что решение этого дифференциального уравнения имеет вид N(t) = N(0)e –l t . Время T, за которое число исходных атомов уменьшилось вдвое, называется периодом полураспада, и является важной характеристикой радиоактивности вещества. Для определения T надо положить в формуле Тогда Например, для радона l = 2,084 · 10 –6 , и следовательно, T = 3,15 сут.

5) Задача о коммивояжере.

Коммивояжеру, живущему в городе A 1 , надо посетить города A 2 , A 3 и A 4 , причем каждый город точно один раз, и затем вернуться обратно в A 1 . Известно, что все города попарно соединены между собой дорогами, причем длины дорог b ij между городами A i и A j (i, j = 1, 2, 3, 4) таковы:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Надо определить порядок посещения городов, при котором длина соответствующего пути минимальна.

Изобразим каждый город точкой на плоскости и пометим ее соответствующей меткой Ai (i = 1, 2, 3, 4). Соединим эти точки отрезками прямых: они будут изображать дороги между городами. Для каждой «дороги» укажем ее протяженность в километрах (рис. 2). Получился граф - математический объект, состоящий из некоторого множества точек на плоскости (называемых вершинами) и некоторого множества линий, соединяющих эти точки (называемых ребрами). Более того, этот граф меченый, так как его вершинам и ребрам приписаны некоторые метки - числа (ребрам) или символы (вершинам). Циклом на графе называется последовательность вершин V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 такая, что вершины V 1 , ..., V k - различны, а любая пара вершин V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) и пара V 1 , V k соединены ребром. Таким образом, рассматриваемая задача заключается в отыскании такого цикла на графе, проходящего через все четыре вершины, для которого сумма всех весов ребер минимальна. Найдем перебором все различные циклы, проходящие через четыре вершины и начинающиеся в A 1:

1) A 1 , A 4 , A 3 , A 2 , A 1 ;
2) A 1 , A 3 , A 2 , A 4 , A 1 ;
3) A 1 , A 3 , A 4 , A 2 , A 1 .

Найдем теперь длины этих циклов (в км): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. Итак, маршрут наименьшей длины - это первый.

Заметим, что если в графе n вершин и все вершины попарно соединены между собой ребрами (такой граф называется полным), то число циклов, проходящих через все вершины, равно Следовательно, в нашем случае имеется ровно три цикла.

6) Задача о нахождении связи между структурой и свойствами веществ.

Рассмотрим несколько химических соединений, называемых нормальными алканами. Они состоят из n атомов углерода и n + 2 атомов водорода (n = 1, 2 ...), связанных между собой так, как показано на рисунке 3 для n = 3. Пусть известны экспериментальные значения температур кипения этих соединений:

y э (3) = – 42°, y э (4) = 0°, y э (5) = 28°, y э (6) = 69°.

Требуется найти приближенную зависимость между температурой кипения и числом n для этих соединений. Предположим, что эта зависимость имеет вид

y » a n + b,

где a , b - константы, подлежащие определению. Для нахождения a и b подставим в эту формулу последовательно n = 3, 4, 5, 6 и соответствующие значения температур кипения. Имеем:

– 42 » 3a + b, 0 » 4a + b, 28 » 5a + b, 69 » 6a + b.

Для определения наилучших a и b существует много разных методов. Воспользуемся наиболее простым из них. Выразим b через a из этих уравнений:

b » – 42 – 3a , b » – 4a , b » 28 – 5a , b » 69 – 6a .

Возьмем в качестве искомого b среднее арифметическое этих значений, то есть положим b » 16 – 4,5a . Подставим в исходную систему уравнений это значение b и, вычисляя a , получим для a следующие значения: a » 37, a » 28, a » 28, a » 36. Возьмем в качестве искомого a среднее значение этих чисел, то есть положим a » 34. Итак, искомое уравнение имеет вид

y » 34n – 139.

Проверим точность модели на исходных четырех соединениях, для чего вычислим температуры кипения по полученной формуле:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Таким образом, ошибка расчетов данного свойства для этих соединений не превышает 5°. Используем полученное уравнение для расчета температуры кипения соединения с n = 7, не входящего в исходное множество, для чего подставим в это уравнение n = 7: y р (7) = 99°. Результат получился довольно точный: известно, что экспериментальное значение температуры кипения y э (7) = 98°.

7) Задача об определении надежности электрической цепи.

Здесь мы рассмотрим пример вероятностной модели. Сначала приведем некоторые сведения из теории вероятностей - математической дисциплины, изучающей закономерности случайных явлений, наблюдаемых при многократном повторении опыта. Назовем случайным событием A возможный исход некоторого опыта. События A 1 , ..., A k образуют полную группу, если в результате опыта обязательно происходит одно из них. События называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном опыте. Пусть при n-кратном повторении опыта событие A произошло m раз. Частотой события A называется число W = . Очевидно, что значение W нельзя предсказать точно до проведения серии из n опытов. Однако природа случайных событий такова, что на практике иногда наблюдается следующий эффект: при увеличении числа опытов значение практически перестает быть случайным и стабилизируется около некоторого неслучайного числа P(A), называемого вероятностью события A. Для невозможного события (которое никогда не происходит в опыте) P(A)=0, а для достоверного события (которое всегда происходит в опыте) P(A)=1. Если события A 1 , ..., A k образуют полную группу несовместимых событий, то P(A 1)+...+P(A k)=1.

Пусть, например, опыт состоит в подбрасывании игральной кости и наблюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие случайные события A i ={X = i}, i = 1, ..., 6. Они образуют полную группу несовместных равновероятных событий, поэтому P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Суммой событий A и B называется событие A + B, состоящее в том, что в опыте происходит хотя бы одно из них. Произведением событий A и B называется событие AB, состоящее в одновременном появлении этих событий. Для независимых событий A и B верны формулы

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Рассмотрим теперь следующую задачу . Предположим, что в электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо друг от друга. Вероятности отказов 1-го, 2-го и 3-го элементов соответственно равны P 1 = 0,1, P 2 = 0,15, P 3 = 0,2. Будем считать цепь надежной, если вероятность того, что в цепи не будет тока, не более 0,4. Требуется определить, является ли данная цепь надежной.

Так как элементы включены последовательно, то тока в цепи не будет (событие A), если откажет хотя бы один из элементов. Пусть A i - событие, заключающееся в том, что i-й элемент работает (i = 1, 2, 3). Тогда P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно, что A 1 A 2 A 3 - событие, заключающееся в том, что одновременно работают все три элемента, и

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Тогда P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, поэтому P(A) = 0,388 < 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

В заключение отметим, что приведенные примеры математических моделей (среди которых есть функциональные и структурные, детерминистические и вероятностные) носят иллюстративный характер и, очевидно, не исчерпывают всего разнообразия математических моделей, возникающих в естественных и гуманитарных науках.

Лекция 1.

МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Современное состояние проблемы моделирования систем

Понятия модели и моделирования

Моделирование можно рассматривать как замещение исследуемогообъекта (оригинала) его условным образом, описанием или другим объектом,именуемым моделью и обеспечивающим близкое к оригиналу поведениев рамках некоторых допущений и приемлемых погрешностей. Моделированиеобычно выполняется с целью познания свойств оригинала путем исследованияего модели, а не самого объекта. Разумеется, моделирование оправдано в томслучае когда оно проще создания самого оригинала или когда последний покаким-то причинам лучше вообще не создавать.

Под моделью понимается физический или абстрактный объект, свойствакоторого в определенном смысле сходны со свойствами исследуемого объекта.При этом требования к модели определяются решаемой задачей и имеющимисясредствами. Существует ряд общих требований к моделям:

2) полнота – предоставление получателю всей необходимой информации

об объекте;

3) гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем

диапазоне изменения условий и параметров;

4) трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося

времени и программных средств.

Моделирование – это процесс построения модели объекта и исследованияего свойств путем исследования модели.

Таким образом, моделирование предполагает 2 основных этапа:

1) разработка модели;

2) исследование модели и получение выводов.

При этом на каждом из этапов решаются разные задачи и используются

отличающиеся по сути методы и средства.

На практике применяют различные методы моделирования. В зависимостиот способа реализации, все модели можно разделить на два больших класса:физические и математические.

Математическое моделирование принято рассматривать как средствоисследования процессов или явлений с помощью их математических моделей.

Под физическим моделированием понимается исследование объектов иявлений на физических моделях, когда изучаемый процесс воспроизводятс сохранением его физической природы или используют другое физическоеявление, аналогичное изучаемому. При этом физические модели предполагают, как правило, реальное воплощение тех физических свойстворигинала, которые являются существенными в конкретной ситуации.Например, при проектировании нового самолета создается его макет,обладающий теми же аэродинамическими свойствами; при планированиизастройки архитекторы изготавливают макет, отражающий пространственноерасположение ее элементов. В связи с этим физическое моделированиеназывают также макетированием .

Полунатурное моделирование представляет собой исследованиеуправляемых систем на моделирующих комплексах с включением в составмодели реальной аппаратуры. Наряду с реальной аппаратурой в замкнутуюмодель входят имитаторы воздействий и помех, математические моделивнешней среды и процессов, для которых неизвестно достаточно точноематематическое описание. Включение реальной аппаратуры или реальныхсистем в контур моделирования сложных процессов позволяет уменьшитьаприорную неопределенность и исследовать процессы, для которых нет точногоматематического описания. С помощью полунатурного моделированияисследования выполняются с учетом малых постоянных времени инелинейностей, присущих реальной аппаратуре. При исследовании моделей свключением реальной аппаратуры используется понятие динамическогомоделирования , при исследовании сложных систем и явлений -эволюционного , имитационного и кибернетического моделирования .

Очевидно, действительная польза от моделирования может быть полученатолько при соблюдении двух условий:

1) модель обеспечивает корректное (адекватное) отображение свойств

оригинала, существенных с точки зрения исследуемой операции;

2) модель позволяет устранить перечисленные выше проблемы, присущие

проведению исследований на реальных объектах.

2. Основные понятия математического моделирования

Решение практических задач математическими методами последовательноосуществляется путем формулировки задачи (разработки математическоймодели), выбора метода исследования полученной математической модели,анализа полученного математического результата. Математическаяформулировка задачи обычно представляется в виде геометрических образов,функций, систем уравнений и т.п. Описание объекта (явления) может бытьпредставлено с помощью непрерывной или дискретной, детерминированнойили стохастической и другими математическими формами.

Теория математического моделирования обеспечивает выявлениезакономерностей протекания различных явлений окружающего мира илиработы систем и устройств путем их математического описания имоделирования без проведения натурных испытаний. При этом используютсяположения и законы математики, описывающие моделируемые явления,системы или устройства на некотором уровне их идеализации.

Математическая модель (ММ) представляет собой формализованноеописание системы (или операции) на некотором абстрактном языке, например,в виде совокупности математических соотношений или схемы алгоритма,т. е. такое математическое описание, которое обеспечивает имитацию работысистем или устройств на уровне, достаточно близком к их реальномуповедению, получаемому при натурных испытаниях систем или устройств.

Любая ММ описывает реальный объект, явление или процесс с некоторойстепенью приближения к действительности. Вид ММ зависит как от природыреального объекта, так и от задач исследования.

Математическое моделирование общественных, экономических,биологических и физических явлений, объектов, систем и различных устройствявляется одним из важнейших средств познания природы и проектированиясамых разнообразных систем и устройств. Известны примеры эффективногоиспользования моделирования в создании ядерных технологий, авиационных иаэрокосмических систем, в прогнозе атмосферных и океанических явлений,погоды и т.д.

Однако для таких серьезных сфер моделирования нередко нужнысуперкомпьютеры и годы работы крупных коллективов ученых по подготовкеданных для моделирования и его отладки. Тем не менее, и в этом случаематематическое моделирование сложных систем и устройств не толькоэкономит средства на проведение исследований и испытаний, но и можетустранить экологические катастрофы – например, позволяет отказаться отиспытаний ядерного и термоядерного оружия в пользу его математическогомоделирования или испытаний аэрокосмических систем перед их реальнымиполетами.Между тем математическое моделирование на уровне решения болеепростых задач, например, из области механики, электротехники, электроники,радиотехники и многих других областей науки и техники в настоящее времястало доступным выполнять на современных ПК. А при использованииобобщенных моделей становится возможным моделирование и достаточносложных систем, например, телекоммуникационных систем и сетей,радиолокационных или радионавигационных комплексов.

Целью математического моделирования является анализ реальныхпроцессов (в природе или технике) математическими методами. В своюочередь, это требует формализации ММ процесса, подлежащего исследованию.Модель может представлять собой математическое выражение, содержащеепеременные, поведение которых аналогично поведению реальной системы.Модель может включать элементы случайности, учитывающие вероятностивозможных действий двух или большего числа «игроков», как, например, втеории игр; либо она может представлять реальные переменные параметрывзаимосвязанных частей действующей системы.

Математическое моделирование для исследования характеристик системможно разделить на аналитическое, имитационное и комбинированное. В своюочередь, ММ делятся на имитационные и аналитические.

Аналитическое моделирование

Для аналитического моделирования характерно, что процессыфункционирования системы записываются в виде некоторых функциональныхсоотношений (алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений). Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

1) аналитическим, когда стремятся получить в общем виде явныезависимости для характеристик систем;

2) численным, когда не удается найти решение уравнений в общем виде иих решают для конкретных начальных данных;

3) качественным, когда при отсутствии решения находят некоторые егосвойства.

Аналитические модели удается получить только для сравнительно простыхсистем. Для сложных систем часто возникают большие математическиепроблемы. Для применения аналитического метода идут на существенноеупрощение первоначальной модели. Однако исследование на упрощенноймодели помогает получить лишь ориентировочные результаты. Аналитическиемодели математически верно отражают связь между входными и выходнымипеременными и параметрами. Но их структура не отражает внутреннююструктуру объекта.

При аналитическом моделировании его результаты представляются в видеаналитических выражений. Например, подключив RC -цепь к источникупостоянного напряжения E (R , C и E - компоненты данной модели), мыможем составить аналитическое выражение для временной зависимостинапряжения u (t ) на конденсаторе C :

Это линейное дифференциальное уравнение (ДУ) и являетсяаналитической моделью данной простой линейной цепи. Его аналитическоерешение, при начальном условии u (0) = 0 , означающем разряженныйконденсатор C в момент начала моделирования, позволяет найти искомуюзависимость – в виде формулы:

u (t ) = E (1− eх p (- t / RC )). (2)

Однако даже в этом простейшем примере требуются определенные усилиядля решения ДУ (1) или для применения систем компьютерной математики (СКМ) с символьными вычислениями – систем компьютернойалгебры. Для данного вполне тривиального случая решение задачимоделирования линейной RC -цепи дает аналитическое выражение (2)достаточно общего вида – оно пригодно для описания работы цепи при любыхноминалах компонентов R , C и E , и описывает экспоненциальный зарядконденсатора C через резистор R от источника постоянного напряжения E .

Безусловно, нахождение аналитических решений при аналитическоммоделировании оказывается исключительно ценным для выявления общихтеоретических закономерностей простых линейных цепей, систем и устройств.Однако его сложность резко возрастает по мере усложнения воздействий намодель и увеличения порядка и числа уравнений состояния, описывающихмоделируемый объект. Можно получить более или менее обозримыерезультаты при моделировании объектов второго или третьего порядка, но ужепри большем порядке аналитические выражения становятся чрезмерногромоздкими, сложными и трудно осмысляемыми. Например, даже простойэлектронный усилитель зачастую содержит десятки компонентов. Тем неменее, многие современные СКМ, например, системы символьной математикиMaple, Mathematica или среда MATLAB , способны в значительноймере автоматизировать решение сложных задач аналитическогомоделирования.

Одной из разновидностей моделирования является численное моделирование, которое заключается в получении необходимыхколичественных данных о поведении систем или устройств каким-либоподходящим численным методом, таким как методы Эйлера илиРунге-Кутта. На практике моделирование нелинейных систем и устройствс использованием численных методов оказывается намного болееэффективным, чем аналитическое моделирование отдельных частных линейныхцепей, систем или устройств. Например, для решения ДУ (1) или систем ДУв более сложных случаях решение в аналитическом виде не получается, но поданным численного моделирования можно получить достаточно полныеданные о поведении моделируемых систем и устройств, а также построитьграфики описывающих это поведение зависимостей.

Имитационное моделирование

Приимитационном 10имоделировании реализующий модель алгоритмвоспроизводит процесс функционирования системы во времени. Имитируютсяэлементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логическойструктуры и последовательности протекания во времени.

Основным преимуществом имитационных моделей по сравнениюсаналитическими является возможность решения более сложных задач.

Имитационные модели позволяют легко учитывать наличие дискретных илинепрерывных элементов, нелинейные характеристики, случайные воздействияи др. Поэтому этот метод широко применяется на этапе проектированиясложных систем. Основным средством реализации имитационногомоделирования служит ЭВМ, позволяющая осуществлять цифровоемоделирование систем и сигналов.

В связи с этим определим словосочетание «компьютерноемоделирование », которое все чаще используется в литературе. Будем полагать,что компьютерное моделирование - это математическое моделированиес использованием средств вычислительной техники. Соответственно,технология компьютерного моделирования предполагает выполнениеследующих действий:

1) определение цели моделирования;

2) разработка концептуальной модели;

3) формализация модели;

4) программная реализация модели;

5) планирование модельных экспериментов;

6) реализация плана эксперимента;

7) анализ и интерпретация результатов моделирования.

При имитационном моделировании используемая ММ воспроизводиталгоритм («логику») функционирования исследуемой системы во времени приразличных сочетаниях значений параметров системы и внешней среды.

Примером простейшей аналитической модели может служить уравнениепрямолинейного равномерного движения. При исследовании такого процессас помощью имитационной модели должно быть реализовано наблюдениеза изменением пройденного пути с течением времени.Очевидно, в одних случаях более предпочтительным являетсяаналитическое моделирование, в других - имитационное (или сочетание того идругого). Чтобы выбор был удачным, необходимо ответить на два вопроса.

С какой целью проводится моделирование?

К какому классу может быть отнесено моделируемое явление?

Ответы на оба эти вопроса могут быть получены в ходе выполнения двухпервых этапов моделирования.

Имитационные модели не только по свойствам, но и по структуресоответствуют моделируемому объекту. При этом имеется однозначное и явноесоответствие между процессами, получаемыми на модели, и процессами,протекающими на объекте. Недостатком имитационного моделированияявляется большое время решения задачи для получения хорошей точности.

Результаты имитационного моделирования работы стохастическойсистемы являются реализациями случайных величин или процессов. Поэтомудля нахождения характеристик системы требуется многократное повторение ипоследующая обработка данных. Чаще всего в этом случае применяетсяразновидность имитационного моделирования - статистическое

моделирование (или метод Монте-Карло), т.е. воспроизведение в моделяхслучайных факторов, событий, величин, процессов, полей.

По результатам статистического моделирования определяют оценкивероятностных критериев качества, общих и частных, характеризующихфункционирование и эффективность управляемой системы. Статистическоемоделирование широко применяется для решения научных и прикладных задачв различных областях науки и техники. Методы статистическогомоделирования широко применяются при исследовании сложныхдинамических систем, оценке их функционирования и эффективности.

Заключительный этап статистического моделирования основан наматематической обработке полученных результатов. Здесь используют методыматематической статистики (параметрическое и непараметрическое оценивание,проверку гипотез). Примером параметрической оценки являетсявыборочное среднее показателя эффективности. Среди непараметрическихметодов большое распространение получил метод гистограмм .

Рассмотренная схема основана на многократных статистическихиспытаниях системы и методах статистики независимых случайных величин.Эта схема является далеко не всегда естественной на практике и оптимальнойпо затратам. Сокращение времени испытания систем может быть достигнуто засчет использования более точных методов оценивания. Как известно изматематической статистики, наибольшую точность при заданном объемевыборки имеют эффективные оценки. Оптимальная фильтрация и методмаксимального правдоподобия дают общий метод получения таких оценок.В задачах статистического моделирования обработка реализацийслучайных процессов необходима не только для анализа выходных процессов.

Весьма важен также и контроль характеристик входных случайныхвоздействий. Контроль заключается в проверке соответствия распределенийгенерируемых процессов заданным распределениям. Эта задача частоформулируется как задача проверки гипотез .

Общей тенденцией моделирования с использованием ЭВМ у сложныхуправляемых систем является стремление к уменьшению временимоделирования, а также проведение исследований в реальном масштабевремени. Вычислительные алгоритмы удобно представлять в рекуррентнойформе, допускающей их реализацию в темпе поступления текущей информации.

ПРИНЦИПЫ СИСТЕМНОГО ПОДХОДА В МОДЕЛИРОВАНИИ

Основные положения теории систем

Основные положения теории систем возникли в ходе исследованиядинамических систем и их функциональных элементов. Под системой понимают группу взаимосвязанных элементов, действующих совместнос целью выполнения заранее поставленной задачи. Анализ систем позволяетопределить наиболее реальные способы выполнения поставленной задачи,обеспечивающие максимальное удовлетворение поставленных требований.

Элементы, составляющие основу теории систем, не создаются с помощьюгипотез, а обнаруживаются экспериментальным путем. Для того чтобы начатьпостроение системы, необходимо иметь общие характеристикитехнологических процессов. Это же справедливо и в отношении принциповсоздания математически сформулированных критериев, которым долженудовлетворять процесс или его теоретическое описание. Моделированиеявляется одним из наиболее важных методов научного исследования иэкспериментирования.

При построении моделей объектов используется системный подход,представляющий собой методологию решения сложных задач, в основекоторой лежит рассмотрение объекта как системы, функционирующейв некоторой среде. Системный подход предполагает раскрытие целостностиобъекта, выявление и изучение его внутренней структуры, а также связейс внешней средой. При этом объект представляется как часть реального мира,которая выделяется и исследуется в связи с решаемой задачей построениямодели. Кроме этого, системный подход предполагает последовательныйпереход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цельпроектирования, а объект рассматривается во взаимосвязи с окружающейсредой.

Сложный объект может быть разделен на подсистемы, представляющие собой части объекта, удовлетворяющие следующим требованиям:

1) подсистема является функционально независимой частью объекта. Онасвязана с другими подсистемами, обменивается с ними информацией иэнергией;

2) для каждой подсистемы могут быть определены функции или свойства,не совпадающие со свойствами всей системы;

3) каждая из подсистем может быть подвергнута дальнейшему делению доуровня элементов.

В данном случае под элементом понимается подсистема нижнего уровня,дальнейшее деление которой нецелесообразно с позиций решаемой задачи.

Таким образом, систему можно определить как представление объектав виде набора подсистем, элементов и связей с целью его создания,исследования или усовершенствования. При этом укрупненное представлениесистемы, включающее в себя основные подсистемы и связи между ними,называется макроструктурой, а детальное раскрытие внутреннего строениясистемы до уровня элементов – микроструктурой.

Наряду с системой обычно существует надсистема – система болеевысокого уровня, в состав которой входит рассматриваемый объект, причёмфункция любой системы может быть определена только через надсистему.

Следует выделить понятие среды как совокупности объектов внешнего мира,существенно влияющих на эффективность функционирования системы, но невходящих в состав системы и ее надсистемы.

В связи с системным подходом к построению моделей используетсяпонятие инфраструктуры, описывающей взаимосвязи системы с ееокружением (средой).При этом выделение, описание и исследование свойств объекта,существенных в рамках конкретной задачи называется стратификациейобъекта, а всякая модель объекта является его стратифицированнымописанием.

Для системного подхода важным является определение структуры системы, т.е. совокупности связей между элементами системы, отражающих ихвзаимодействие. Для этого вначале рассмотрим структурный ифункциональный подходы к моделированию.

При структурном подходе выявляются состав выделенных элементов системы и связи между ними. Совокупность элементов и связей позволяет судить о структуре системы. Наиболее общим описанием структуры является топологическое описание. Оно позволяет определить составные части системыи их связи с помощью графов. Менее общим является функциональное описание, когда рассматриваютсяо тдельные функции, т. е. алгоритмы поведения системы. При этом реализуетсяфункциональный подход, определяющий функции, которые выполняетсистема.

На базе системного подхода может быть предложена последовательностьразработки моделей, когда выделяют две основные стадии проектирования:макропроектирование и микропроектирование.

На стадии макропроектирования строится модель внешней среды,выявляются ресурсы и ограничения, выбирается модель системы и критериидля оценки адекватности.

Стадия микропроектирования в значительной степени зависит отконкретного типа выбранной модели. В общем случае предполагает созданиеинформационного, математического, технического и программногообеспечения системы моделирования. На этой стадии устанавливаютсяосновные технические характеристики созданной модели, оцениваются времяработы с ней и затраты ресурсов для получения заданного качества модели.

Независимо от типа модели при ее построении необходиморуководствоваться рядом принципов системного подхода:

1) последовательное продвижение по этапам создания модели;

2) согласование информационных, ресурсных, надежностных и другиххарактеристик;

3) правильное соотношение различных уровней построения модели;

4) целостность отдельных стадий проектирования модели.

Пример 1.5.1.

Пусть некоторый экономический регион производит несколько (n) видов продуктов исключительно своими силами и только для населения данного региона. Предполагается, что технологический процесс отработан, а спрос населения на эти товары изучен. Надо определить годовой объем выпуска продуктов, с учетом того, что этот объем должен обеспечить как конечное, так и производственное потребление.

Составим математическую модель этой задачи. По ее условию даны: виды продуктов, спрос на них и технологический процесс; требуется найти объем выпуска каждого вида продукта.

Обозначим известные величины:

c i – спрос населения на i -й продукт (i =1,...,n ); a ij – количество i -го продукта, необходимое для выпуска единицы j -го продукта по данной технологии (i =1,...,n ; j =1,...,n );

х i – объем выпуска i -го продукта (i =1,...,n ); совокупность с =(c 1 ,..., c n ) называется вектором спроса, числа a ij – технологическими коэффициентами, а совокупность х =(х 1 ,..., х n ) – вектором выпуска.

По условию задачи вектор х распределяется на две части: на конечное потребление (вектор с ) и на воспроизводство (вектор х-с ). Вычислим ту часть вектора х которая идет на воспроизводство. По нашим обозначениям для производства х j количества j-го товара идет a ij · х j количества i -го товара.

Тогда сумма a i1 · х 1 +...+ a in · х n показывает ту величину i -го товара, которая нужна для всего выпуска х =(х 1 ,..., х n ).

Следовательно, должно выполняться равенство:

Распространяя это рассуждение на все виды продуктов, приходим к искомой модели:

Решая эту систему из n линейных уравнений относительно х 1 ,...,х n и найдем требуемый вектор выпуска.

Для того, чтобы написать эту модель в более компактной (векторной) форме, введем обозначения:

Квадратная (
) -матрицаА называется технологической матрицей. Легко проверить, что наша модель теперь запишется так:х-с=Ах или

(1.6)

Мы получили классическую модель «Затраты – выпуск », автором которой является известный американский экономист В. Леонтьев.

Пример 1.5.2.

Нефтеперерабатывающий завод располагает двумя сортами нефти: сортом А в количестве 10 единиц, сортом В - 15 единиц. При переработке из нефти получаются два материала: бензин (обозначим Б ) и мазут (М ). Имеется три варианта технологического процесса переработки:

I : 1ед.А + 2ед.В дает 3ед.Б + 2ед.М

II: 2ед.А + 1ед.В дает 1ед.Б + 5ед.М

III : 2ед.А + 2ед.В дает 1ед.Б + 2ед.М

Цена бензина - 10 долл. за единицу, мазута - 1 долл. за единицу.

Требуется определить наиболее выгодное сочетание технологических процессов переработки имеющегося количества нефти.

Перед моделированием уточним следующие моменты. Из условия задачи следует, что «выгодность» технологического процесса для завода следует понимать в смысле получения максимального дохода от реализации своей готовой продукции (бензина и мазута). В связи с этим понятно, что «выбор (принятие) решения» завода состоит в определении того, какую технологию и сколько раз применить. Очевидно, что таких возможных вариантов достаточно много.

Обозначим неизвестные величины:

х i – количество использованияi -го технологического процесса(i=1,2,3) . Остальные параметры модели (запасы сортов нефти, цены бензина и мазута)известны .

Теперь одно конкретное решение завода сводится к выбору одного вектора х =(х 1 ,х 2 ,х 3 ) , для которого выручка завода равна(32х 1 +15х 2 +12х 3 ) долл. Здесь 32 долл. – это доход, полученный от одного применения первого технологического процесса (10 долл. ·3ед.Б + 1 долл. ·2ед.М = 32 долл.). Аналогичный смысл имеют коэффициенты 15 и 12 для второго и третьего технологических процессов соответственно. Учет запаса нефти приводит к следующим условиям:

для сорта А :

для сорта В :,

где в первом неравенстве коэффициенты 1, 2, 2 – это нормы расхода нефти сорта А для одноразового применения технологических процессов I ,II ,III соответственно. Коэффициенты второго неравенства имеют аналогичный смысл для нефти сорта В.

Математическая модель в целом имеет вид:

Найти такой вектор х = (х 1 ,х 2 ,х 3 ) , чтобы максимизировать

f(x) =32х 1 +15х 2 +12х 3

при выполнении условий:

Сокращенная форма этой записи такова:

при ограничениях

(1.7)

Мы получили так называемую задачу линейного программирования.

Модель (1.7.) является примером оптимизационной модели детерминированного типа (с вполне определенными элементами).

Пример1.5.3.

Инвестору требуется определить наилучший набор из акций, облигаций и других ценных бумаг для приобретения их на некоторую сумму с целью получения определенной прибыли с минимальным риском для себя. Прибыль на каждый доллар, вложенный в ценную бумагу j - го вида, характеризуется двумя показателями: ожидаемой прибылью и фактической прибылью. Для инвестора желательно, чтобы ожидаемая прибыль на один доллар вложений была для всего набора ценных бумаг не ниже заданной величины b .

Заметим, что для правильного моделирования этой задачи от математика требуются определенные базовые знания в области портфельной теории ценных бумаг.

Обозначим известные параметры задачи:

n – число разновидностей ценных бумаг; а j – фактическая прибыль (случайное число) от j-го вида ценной бумаги; – ожидаемая прибыль отj -го вида ценной бумаги.

Обозначим неизвестные величины :

y j - средства, выделенные для приобретения ценных бумаг вида j .

По нашим обозначениям вся инвестированная сумма выражается как . Для упрощения модели введем новые величины

.

Таким образом, х i - это доля от всех средств, выделяемая для приобретения ценных бумаг видаj .

Ясно, что

Из условия задачи видно, что цель инвестора - достижение определенного уровня прибыли с минимальным риском. Содержательно риск - это мера отклонения фактической прибыли от ожидаемой. Поэтому его можно отождествить с ковариацией прибыли для ценных бумаг вида i и вида j. Здесь М - обозначение математического ожидания.

Математическая модель исходной задачи имеет вид:

при ограничениях

,
,
,
. (1.8)

Мы получили известную модель Марковица для оптимизации структуры портфеля ценных бумаг.

Модель (1.8.) является примеров оптимизационной модели стохастического типа (с элементами случайности).

Пример1.5.4.

На базе торговой организации имеется n типов одного из товаров ассортиментного минимума. В магазин должен быть завезен только один из типов данного товара. Требуется выбрать тот тип товара, который целесообразно завести в магазин. Если товар типа j будет пользоваться спросом, то магазин от его реализации получит прибыльр j , если же он не будет пользоваться спросом - убытокq j .

Перед моделированием обсудим некоторые принципиальные моменты. В данной задаче лицом, принимающим решение (ЛПР), является магазин. Однако исход (получение максимальной прибыли) зависит не только от его решения, но и от того, будет ли завезенный товар пользоваться спросом, т. е. будет ли выкуплен населением (предполагается, что по какой-то причине у магазина нет возможности изучить спрос населения). Поэтому население может рассматриваться как второе ЛПР, выбирающее тип товара согласно своего предпочтения. Наихудшим для магазина «решением» населения является: «завезенный товар не пользуется спросом». Так что, для учета всевозможных ситуаций, магазину нужно считать население своим «противником» (условно), преследующим противоположную цель – минимизировать прибыль магазина.

Итак, имеем задачу принятия решения с двумя участниками, преследующими противоположные цели. Уточним, что магазин выбирает один из типов товаров для продажи (всего n вариантов решений), а население - один из типов товаров, который пользуется наибольшим спросом (n вариантов решений).

Для составления математической модели нарисуем таблицу с n строками и n столбцами (всего n 2 клеток) и условимся, что строки соответствуют выбору магазина, а столбики - выбору населения. Тогда клетка (i, j) соответствует той ситуации, когда магазин выбирает i -й тип товара (i -ю строку), а население выбирает j -й тип товара (j- ю столбик). В каждую клетку запишем числовую оценку (прибыль или убыток) соответствующей ситуации с точки зрения магазина:

Числа q i написаны с минусом для отражения убытка магазина; в каждой ситуации «выигрыш» населения (условно) равен «выигрышу» магазина, взятому с обратным знаком.

Сокращенный вид этой модели таков:

(1.9)

Мы получили так называемую матричную игру. Модель (1.9.) является примером игровых моделей принятия решения.

Задачи, решаемые методами ЛП, очень разнообразны по содержанию. Но их математические модели схожи и условно объединяются в три большие группы задач:

• транспортные задачи;
• задачи о составлении плана;

Рассмотрим примеры конкретных экономических задач каждого типа, подробно остановимся на построении модели каждой задачи.

Транспортная задача

На двух торговых базах А и В имеется 30 гарнитуров мебели, по 15 на каждой. Всю мебель требуется доставить в два мебельных магазина, С и Д причем в С надо доставить 10 гарнитуров, а в Д - 20. Известно, что доставка одного гарнитура с базы А в магазин С обходится в одну денежную единицу, в магазин Д - в три денежных единицы. Соответственно с базы В в магазины С и Д : две и пять денежных единиц. Составить план перевозок так, чтобы стоимость всех перевозок была наименьшей.
Данные задачи для удобства разметим в таблице. На пересечении строк и столбцов стоят числа, характеризующие стоимость соответствующих перевозок (табл. 3.1).

Таблица 3.1

Составим математическую модель задачи.
Необходимо ввести переменные. В формулировке вопроса говорится, что необходимо составить план перевозок. Обозначим через х 1 , х 2 количество гарнитуров, перевозимых с базы А в магазины С и Д соответственно, а через у 1 , у 2 - количество гарнитуров, перевозимых с базы В в магазины С и Д соответственно. Тогда количество мебели, вывозимое со склада А , равно (х 1 + х 2), а со склада В - (у 1 + у 2). Потребность магазина С равна 10 гарнитурам, и в него привезли (х 1 + у 1) штук, т. е. х 1 + у 1 = 10. Аналогично, для магазина Д имеем х 2 + у 2 = 20. Заметим, что потребности магазинов в точности равны количеству гарнитуров, имеющихся на складах, поэтому х 1 + у 2 = 15 и у 1 + у 2 = 15. Если бы со складов вы увезли меньше, чем по 15 комплектов, то магазинам не хватило бы мебели для удовлетворения их потребностей.
Итак, переменные х 1 , х 2 , у 1 , у 2 по смыслу задачи неотрицательны и удовлетворяют системе ограничений:
(3.1)
Обозначив через F транспортные расходы, посчитаем их. на перевозку одного комплекта мебели из А в С тратится одна ден. ед., на перевозку x 1 комплектов - x 1 ден. ед. Аналогично, на перевозку x 2 комплектов из А в Д затратится 3x 2 ден. ед.; из В в С - 2y 1 ден. ед., из В в Д - 5y 2 ден. ед.
Итак,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2y 1 + 5y 2 → min (3.2)
(мы хотим, чтобы общая стоимость перевозок была минимальной).
Сформулируем задачу математически.
На множестве решений системы ограничений (3.1) найти такое решение, которое обращает в минимум целевую функцию F (3.2), или найти оптимальный план (x 1 , x 2, y 1 , y 2), определяемый системой ограничений (3.1) и целевой функцией (3.2).
Задача, которую мы рассмотрели может быть представлена в более общем виде, с любым числом поставщиков и потребителей.
В рассмотренной нами задаче наличие груза у поставщиков (15 + 15) равно общей потребности потребителей (10 + 20). Такая модель называется закрытой , а соответствующая задача - сбалансированной транспортной задачей.
В экономических расчетах немалую роль играют и так называемые открытые модели, в которых указанное равенство не соблюдается. Либо запас у поставщиков больше потребности у потребителей, либо спрос превышает наличие товара. заметим, что тогда в систему ограничений несбалансированной транспортной задачи наряду с уравнениями будут входить и неравенства.

Вопросы для самоконтроля
1. Постановка транспортной задачи. опишите построение математической модели.
2. Что такое сбалансированная и несбалансированная транспортная задача?
3. Что подсчитывается в целевой функции транспортной задачи?
4. Что отражает каждое неравенство системы ограничений задачи о плане?
5. Что отражает каждое неравенство системы ограничений задачи о смеси?
6. Что обозначают переменные в задаче о плане и задаче о смеси?

Инструкция

Метод статистического моделирования (статистических испытаний) широко известен как метод «Монте-Карло». Этот метод является частным случаем математического моделирования и основан на создании вероятностных моделей случайных явлений. Основа любого случайного – случайная величина или случайный процесс. При этом случайный процесс с вероятностной точки зрения описываются как n-мерная случайная величина. Полное вероятностное случайной величины дает ее плотность вероятности. Знание этого закона распределения позволяет получать на ЭВМ цифровые модели случайных процессов, не с ними натурных экспериментов. Все это возможно лишь в дискретном виде и в дискретном времени, что необходимо учитывать при создании статических моделей.

При статическом моделировании следует отойти от рассмотрения конкретной явления, сосредоточившись лишь на его вероятностных характеристиках. Это позволяет привлекать для моделирования простейшие явления, имеющие вероятностные показатели с моделируемым явлением. Например, любые события, наступающие с вероятностью 0,5, можно моделировать простым бросанием симметричной монеты. Каждый отдельный этап статистического моделирования называют розыгрышем. Так, для определения оценки математического ожидания потребуется N розыгрышей случайной величины (СВ) X.

Основным инструментом моделирования на ЭВМ являются датчики случайных чисел равномерных на интервале (0, 1). Так, в среде Pascal вызов такого случайного числа осуществляется с помощью команды Random. На калькуляторах на этот случай предусмотрена кнопка RND. Существуют и таблицы таких случайных чисел (по объему до 1000000). Значение равномерной на (0, 1) СВ Z обозначается z.

Рассмотрите методику моделирования произвольной случайной величины с помощью нелинейного преобразования функции распределения. Этот метод не обладает методическими погрешностями. Пусть закон распределения непрерывной СВ Х задан плотностью вероятности W(x). Отсюда и начните подготовку к моделированию и его осуществление.

Найдите функцию распределения Х - F(x). F(x)=∫(-∞,x)W(s)ds. Возьмите Z=z и разрешите уравнение z=F(x) относительно х (это всегда возможно, так как и Z и F(x) имеют значения в пределах от нуля до единицы).Запишите решение x=F^(-1)(z). Это и есть алгоритм моделирования. F^(-1) – обратная F. Остается лишь последовательно получать по этому алгоритму значения xi цифровой модели Х* CD X.

Пример. СВ задана плотностью вероятности W(x)=λexp(-λx), x≥0 (экспоненциальное распределение). Найти цифровую модель.Решение.1.. F(x)=∫(0,x)λ∙exp(-λs)ds=1- exp(-λx).2. z=1- exp(-λx), x=(-1/λ)∙ln(1-z). Так как и z и 1-z имеют значения из интервала (0, 1) и они равномерны, то (1-z) можно заменить на z. 3. Процедура моделирования экспоненциальной СВ производится по формуле x=(-1/λ)∙lnz. Точнее xi=(-1/λ)ln(zi).