Во время выполнения ЭВМ текущей программы внутри машины и в связанной с ней внешней среде (например, в технологическом процессе, управляемом ЭВМ) могут возникать события, требующие немедленной реакции на них со стороны машины.

Реакция состоит в том, что машина прерывает обработку текущей программы и переходит к выполнению некоторой другой программы, специально предназначенной для данного события. По завершении этой программы ЭВМ возвращается к выполнению прерванной программы.

Рассматриваемый процесс, называемый прерыванием программ. Принципиально важным является то, что моменты возникновения событий, требующих прерывания программ, заранее неизвестны и поэтому не могут быть учтены при программировании.

Каждое событие, требующее прерывания, сопровождается сигналом, оповещающим ЭВМ – запросами прерывания. Программу, затребованную запросом прерывания, называют прерывающей программой, противопоставляя ее прерываемой программе, выполнявшейся машиной до появления запроса.

Возможность прерывания программ – важное архитектурное свойство ЭВМ, позволяющее эффективно использовать производительность процессора при наличии нескольких протекающих параллельно во времени процессов, требующих в произвольные моменты времени управления и обслуживания со стороны процессора. В первую очередь это относится к организации параллельной во времени работы процессора и периферийных устройств машины, а также к использованию ЭВМ для управления в реальном времени технологическими процессами.

Чтобы ЭВМ могла, не требуя больших усилий от программиста, реализовывать с высоким быстродействием прерывания программ, машине необходимо придать соответствующие аппаратурные и программные средства, совокупность которых получила название системы прерывания программ.

Основными функциями системы прерывания являются:

запоминание состояния прерываемой программы и осуществление перехода к прерывающей программе

восстановление состояния прерванной программы и возврат к ней.

Вектором прерывания называется вектор «начального состояния прерывающей программы». Вектор прерывания содержит всю необходимую информацию для перехода к прерывающей программе, в том числе ее начальный адрес. Каждому запросу (номеру) прерывания соответствует свой вектор прерывания, способный инициировать выполнение соответствующей прерывающей программы. Векторы прерывания находятся в специально выделенных фиксированных ячейках памяти – таблице векторов прерываний.

Главное место в процедуре перехода к прерывающей программе занимает процедура передачи из соответствующего регистра (регистров) процессора в память (в частности, в стек) на сохранение текущего вектора состояния прерываемой программы (чтобы можно было вернуться к ее исполнению) и загрузка в регистр (регистры) процессора вектора прерывания прерывающей программы, к которой при этом переходит управление процессором.

Классификация прерываний

Запросы на прерывания могут возникать внутри самой ЭВМ и в ее внешней среде. К первым относятся, например, запросы при возникновении в ЭВМ таких событий, как появление ошибки в работе ее аппаратуры, переполнение разрядной сетки, попытка деления на 0, выход из установленной для данной программы области памяти, затребование периферийным устройством операции ввода-вывода, завершение операции ввода-вывода периферийным устройством или возникновение при этой операции особой ситуации и др. Хотя некоторые из указанных событий порождаются самой программой, моменты их появления, как правило, невозможно предусмотреть. Запросы во внешней среде могут возникать от других ЭВМ, от аварийных и некоторых других датчиков технологического процесса и т. п.

Семейство микропроцессоров Intel 80x86 поддерживает 256 уровней приоритетных прерываний, вызываемых событиями трех типов:

внутренние аппаратные прерывания

внешние аппаратные прерывания

программные прерывания

Внутренние аппаратные прерывания , иногда называемые отказами (faults), генерируются определенными событиями, возникающими в процессе выполнения программы, например попыткой деления на 0. Закрепление за такими событиями определенных номеров прерываний зашито в процессоре и не может быть изменено.

Внешние аппаратные прерывания инициируются контроллерами периферийного оборудования или сопроцессорами (например, 8087/80287). Источники сигналов прерываний подключаются либо к выводу немаскируемых прерываний процессора (NMI) либо к выводу маскируемых прерываний (INTR). Линия NMI обычно предназначает для прерываний, вызываемых катастрофическими событиями, такими, как ошибки четности памяти или авария питания.

Программные прерывания . Любая программа может инициировать синхронное программное прерывание путем выполнения команды int . MS-DOS использует для взаимодействия со своими модулями и прикладными программами прерывания от 20Н до 3FH (например, доступ к диспетчеру функций MS-DOS осуществляется выполнением команды i nt 21 h ). Программы BIOS, хранящиеся в ПЗУ, и прикладные программы IBM PC используют другие прерывания, с большими или меньшими номерами. Это распределение номеров прерываний условно и никаким образом не закреплено аппаратно.

Таблица векторов прерываний

Для того чтобы связать адрес обработчика прерывания с номером прерывания, используется таблица векторов прерываний, занимающая первый килобайт оперативной памяти. Эта таблица находится в диапазоне адресов от 0000:0000 до 0000:03FFh и состоит из 256 элементов – дальних адресов обработчиков прерываний.

Элементы таблицы векторов прерываний называются векторами прерываний. В первом слове элемента таблицы записана компонента смещения, а во втором – сегментная компонента адреса обработчика прерывания.

Вектор прерывания с номером 0 находится по адресу 0000:0000, с номером 1 - по адресу 0000:0004 и т. д. В общем случае адрес вектора прерывания находится путем умножения номера прерывания на 4.

Инициализация таблицы выполняется частично системой базового ввода/вывода BIOS после тестирования аппаратуры и перед началом загрузки операционной системой, частично при загрузке MS-DOS. Операционная система MS-DOS может изменить некоторые вектора прерываний, установленные BIOS.

Таблица векторов прерываний

Номер	Описание
	Ошибка деления. Вызывается автоматически после выполнения команд DIV или IDIV, если в результате деления происходит переполнение (например, при делении на 0). Обычно при обработке этого прерывания MS-DOS выводит сообщение об ошибке и останавливает выполнение программы. При этом для процессора i8086 адрес возврата указывает на команду, следующую после команды деления, а для процессора i80286 и более поздних моделей - на первый байт команды, вызвавшей прерывание
	Прерывание пошагового режима. Вырабатывается после выполнения каждой машинной команды, если в слове флагов установлен бит пошаговой трассировки TF. Используется для отладки программ. Это прерывание не вырабатывается после пересылки данных в сегментные регистры командами MOV и POP
	Аппаратное немаскируемое прерывание. Это прерывание может использоваться по-разному в разных машинах. Обычно оно вырабатывается при ошибке четности в оперативной памяти и при запросе прерывания от сопроцессора
	Прерывание для трассировки. Генерируется при выполнении однобайтовой машинной команды с кодом CCh и обычно используется отладчиками для установки точки прерывания
	Переполнение. Генерируется машинной командой INTO , если установлен флаг переполнения OF. Если флаг не установлен, команда INTO выполняется как NOP. Это прерывание используется для обработки ошибок при выполнении арифметических операций
	Печать копии экрана. Генерируется, если пользователь нажал клавишу В программах MS-DOS обычно используется для печати образа экрана. Для процессора i80286 и более старших моделей генерируется при выполнении машинной команды BOUND, если проверяемое значение вышло за пределы заданного диапазона
	Неопределенный код операции или длина команды больше 10 байт
	Особый случай отсутствия арифметического сопроцессора
	IRQ0 – прерывание интервального таймера, возникает 18,2 раза в секунду
	IRQ1 – прерывание от клавиатуры. Генерируется, когда пользователь нажимает и отжимает клавиши. Используется для чтения данных из клавиатуры
	IRQ2 – используется для каскадирования аппаратных прерываний
	IRQ3 – прерывание асинхронного порта COM2
	IRQ4 – прерывание асинхронного порта COM1
	IRQ5 – прерывание от контроллера жесткого диска (только для компьютеров IBM PC/XT)
	IRQ6 – прерывание генерируется контроллером НГМД после завершения операции ввода/вывода
	IRQ7 – прерывание от параллельного адаптера. Генерируется, когда подключенный к адаптеру принтер готов к выполнению очередной операции. Обычно не используется
	Обслуживание видеоадаптера
	Определение конфигурации устройств в системе
	Определение размера оперативной памяти
	Обслуживание дисковой системы
	Работа с асинхронным последовательным адаптером
	Расширенный сервис
	Обслуживание клавиатуры
	Обслуживание принтера
	Запуск BASIC в ПЗУ, если он есть
	Обслуживание часов
	Обработчик прерывания, возникающего, если пользователь нажал комбинацию клавиш
	Программное прерывание, вызывается 18,2 раза в секунду обработчиком аппаратного прерывания таймера
	Адрес видеотаблицы для контроллера видеоадаптера 6845
	Указатель на таблицу параметров дискеты
	Указатель на графическую таблицу для символов с кодами ASCII 128-255
	Используется MS-DOS или зарезервировано для MS-DOS
	Прерывания, зарезервированные для программ пользователя
	Не используются
	IRQ8 – прерывание от часов реального времени
	IRQ9 – прерывание от контроллера EGA
	IRQ10 – зарезервировано
	IRQ11 – зарезервировано
	IRQ12 – зарезервировано
	IRQ13 – прерывание от арифметического сопроцессора
	IRQ14 – прерывание от контроллера жесткого диска
	IRQ15 – зарезервировано
	Не используются
	Зарезервировано для BASIC
	Используются интерпретатором BASIC
	Не используются

Прерывания, обозначенные как IRQ0 – IRQ15 являются внешними аппаратными.

Порядок обслуживания прерываний

ЦП, обнаружив сигнал прерывания, помещает в машинный стек слово состояния программы (определяющее различные флаги ЦП), регистр программного сегмента (CS) и указатель команд (IP) и блокирует систему прерываний. Затем ЦП с помощью 8-разрядного числа (номера прерывания), установленного на системной магистрали прерывающим процессом, извлекает из таблицы векторов адрес обработчика и возобновляет выполнение с этого адреса.

При наличии нескольких источников запросов прерывания должен быть установлен определенный порядок (дисциплина) в обслуживании поступающих запросов. Другими словами, между запросами (и соответствующими прерывающими программами) должны быть установлены приоритетные соотношения, определяющие, какой из нескольких поступивших запросов подлежит обработке в первую очередь, и устанавливающие, имеет право или не имеет данный запрос (прерывающая программа) прерывать ту или иную программу. Если наиболее приоритетный из выставленных запросов прерывания не превосходит по уровню приоритета выполняемую процессором программу, то запрос прерывания игнорируется или его обслуживание откладывается до завершения выполнения текущей программы. Каждому прерыванию соответствует определенный номер, который и определяет приоритет. Более приоритетным считается запрос с меньшим номером, т.е. наибольший приоритет имеет запрос прерывания с номером 0, а наименьший – запрос с номером 255.

Состояние системы в момент передачи управления обработчику прерываний совершенно не зависит от того, было ли прерывание возбуждено внешним устройством или явилось результатом выполнения программой команды INT. Это обстоятельство удобно использовать при написании и тестировании обработчиков внешних прерываний, отладку которых можно почти полностью выполнить, возбуждая их простыми программными средствами.

Аргументы передаются обработчикам прерываний через регистры или стек.

Программная модель микропроцессора x86. Классификация, перечень и назначение пользовательских регистров.

Под программной моделью микропроцессора понимается та его часть, которая оставлена видимой и доступной для программирования. Мы рассмотрим программную модель на примере процессора i80486, который содержит 32 регистра в той или иной мере доступных для использования программистом. Данные регистры можно разделить на две большие группы:

16 пользовательских регистров, которые пользователь может свободно использовать в своих программах для реализации поставленной задачи;

16 системных регистров регистры, предназначенных для поддержки различных режимов работы, сервисных функций.

Регистрами называются области высокоскоростной памяти, расположенные внутри процессора в непосредственной близости от его исполнительного ядра. Доступ к ним осуществляется несравнимо быстрее, чем к ячейкам оперативной памяти. Соответственно, машинные команды с операндами в регистрах выполняются максимально быстро.

К пользовательским регистрам относятся:

восемь 32-битных регистров, которые могут использоваться программистами для хранения данных и адресов. Их называют регистрами общего назначения (РОН):

шесть сегментных регистров:

регистры состояния и управления:

регистр флагов EFlags/Flags;

регистр указателя команды EIP/IP.

Рис. 1.3 Пользовательские регистры микропроцессора i486

Многие из имен регистров приведены с наклонной разделительной чертой. Следует заметить, что это не разные регистры – это части одного большого 32-разрядного регистра. Их можно использовать в программе как отдельные объекты. Так сделано для обеспечения работоспособности программ, написанных для младших 16-разрядных моделей микропроцессоров фирмы Intel, начиная с i8086. Микропроцессоры i486 и Pentium имеют в основном 32-разрядные регистры. Их количество, за исключением сегментных регистров, такое же, как и у i8086, но размерность больше, что и отражено в их обозначениях - они имеют приставку E (Extended).

Рассмотрим состав и назначение пользовательских регистров.

Регистры общего назначения

Все регистры этой группы позволяют обращаться к своим “младшим” частям (см. рис. 1.3). Заметим, что как самостоятельные объекты можно использовать только младшие 16 и 8-битные части этих регистров. Старшие 16 бит этих регистров как самостоятельные объекты недоступны. Это сделано, как было отмечено выше, для совместимости с младшими 16-разрядными моделями микропроцессоров фирмы Intel.

Перечислим более подробно регистры, относящиеся к группе регистров общего назначения. Так как эти регистры физически находятся в микропроцессоре внутри арифметико-логического устройства (АЛУ), то их часто называют регистрами АЛУ:

EAX/AX/AH/AL (Accumulator register) – аккумулятор . Применяется для хранения промежуточных данных. В некоторых командах использование этого регистра обязательно;

EBX/BX/BH/BL (Base register) – базовый регистр. Применяется для хранения базового адреса некоторого объекта в памяти;

ECX/CX/CH/CL (Counter register) – регистр - счетчик . Применяется в командах, производящих некоторые повторяющиеся действия. Его использование зачастую неявно и скрыто в алгоритме работы соответствующей команды. К примеру, команда организации цикла loopкроме передачи управления команде, находящейся по некоторому адресу, уменьшает на единицу и анализирует значение регистраECX/CX;

EDX/DX/DH/DL (Data register) – регистр данных . Так же, как и регистр EAX/AX/AH/AL, он хранит промежуточные данные. В некоторых командах его использование обязательно; для некоторых команд это происходит неявно (например, умножение и деление).

Следующие два регистра используются для поддержки так называемых цепочечных операций, то есть операций, производящих последовательную обработку цепочек элементов, каждый из которых может иметь длину 32, 16 или 8 бит:

ESI/SI (Source Index register) – индекс источника . Этот регистр в цепочечных операциях содержит текущий адрес элемента в цепочке-источнике;

EDI/DI (Destination Index register) – индекс приемника (получателя). Этот регистр в цепочечных операциях содержит текущий адрес в цепочке-приемнике.

В архитектуре микропроцессора на программно-аппаратном уровне поддерживается такая структура данных, как стек .

Стек – это область памяти, специально выделяемая для временного хранения данных программы. Работу со стеком микропроцессор организует по следующему принципу: последний, занесенный в эту область, элемент извлекается первым .

Для работы со стеком в системе команд микропроцессора есть специальные команды, а в программной модели микропроцессора для этого существуют специальные регистры:

ESP/SP (Stack Pointer register) – регистр указателя стека . Содержит указатель вершины стека в текущем сегменте стека.

EBP/BP (Base Pointer register) - регистр указателя базы кадра стека . Предназначен для организации произвольного доступа к данным внутри стека.

Более подробно особенности использования стека рассматриваются в модуле №4 «Команды микропроцессора i80486», раздел «Команды работы со стеком».

На самом деле функциональное назначение регистров АЛУ на является жестким. Большинство из регистров могут использоваться при программировании для хранения операндов практически в любых сочетаниях. Но, как было отмечено выше, некоторые команды используют фиксированные регистры для выполнения своих действий.

Сегментные регистры

В программной модели микропроцессора имеется шесть сегментных регистров: CS , SS , DS , ES , FS , GS . Их существование обусловлено спецификой организации и использования оперативной памяти микропроцессорами Intel. Она заключается в том, что микропроцессор аппаратно поддерживает структурную организацию программы в виде трех частей, называемых сегментами . Соответственно, такая организация памяти называется сегментной .

Для того чтобы указать на сегменты, к которым программа имеет доступ в конкретный момент времени, и предназначены сегментные регистры . Фактически, с небольшой поправкой, как мы увидим далее, в этих регистрах содержатся адреса памяти, с которых начинаются соответствующие сегменты. Логика обработки машинной команды построена так, что при выборке команды, доступе к данным программы или к стеку неявно используются адреса во вполне определенных сегментных регистрах. Более подробно типы сегментов и соответствующих им регистров рассмотрены в разделе 3 «Сегментная организация памяти» данного модуля.

Регистры состояния и управления

В микропроцессор включены два регистра, которые постоянно содержат информацию о состоянии как самого микропроцессора, так и программы, команды которой в данный момент загружены на конвейер:

регистр флагов EFlags/Flags;

регистр указателя команды EIP/IP.

Используя эти регистры, можно получать информацию о результатах выполнения команд и влиять на состояние самого микропроцессора. Рассмотрим подробнее назначение и содержимое этих регистров:

EFlags / Flags (Flagsregister). Отдельные биты данного регистра имеют определенное функциональное назначение и называются флагами. Младшая часть этого регистра полностью аналогична региструFlagsдля i8086. На рис. 1.4 показано содержимое регистраEFlags.

Исходя из особенностей использования, флаги регистра EFlags/Flagsможно разделить на три группы:

8 флагов состояния . Эти флаги могут изменяться после выполнения машинных команд. Флаги состояния регистра EFlags отражают особенности результата исполнения арифметических или логических операций. Это дает возможность анализировать состояние вычислительного процесса и реагировать на него с помощью команд условных переходов и вызовов подпрограмм. В табл. 1.1 приведены основные флаги состояния и указано их назначение;

1 флаг управления . Обозначается DF (Direction Flag). Он находится в 10-м бите регистра EFlags и используется цепочечными командами. Значение флага DF определяет направление поэлементной обработки в этих операциях: от начала строки к концу (DF = 0) либо наоборот, от конца строки к ее началу (DF = 1). Для работы с флагом DF существуют специальные команды: cld (снять флаг DF) и std (установить флаг DF). Применение этих команд позволяет привести флаг DF в соответствие с алгоритмом и обеспечить автоматическое увеличение или уменьшение счетчиков при выполнении операций со строками;

5 системных флагов , управляющих вводом/выводом, маскируемыми прерываниями, отладкой, переключением между задачами и виртуальным режимом 8086. Прикладным программам не рекомендуется модифицировать без необходимости эти флаги, так как в большинстве случаев это приведет к прерыванию работы программы. В табл. 1.2 перечислены системные флаги и их назначение.

Рис. 1.4 Содержимое регистра EFlags

Таблица 1.1

Основные флаги состояния

Мнемо-ника флага	Флаг	Номер бита в EFlags
	Флаг переноса (Carry Flag)		1 – арифметическая операция произвела перенос из старшего бита результата. Старшим является 7, 15 или 31-й бит в зависимости от размерности операнда; 0 – переноса не было
	Флаг паритета (Parity Flag)		1 – 8 младших разрядов (этот флаг – только для 8 младших разрядов операнда любого размера) результата содержат четное число единиц; 0 - 8 младших разрядов результата содержат нечетное число единиц
	Флаг нуля (Zero Flag)		1 – результат нулевой; 0 – результат ненулевой
	Флаг знака		Отражает состояние старшего бита результата (биты 7, 15 или 31 для 8, 16 или 32-разрядных операндов соответственно): 1 – старший бит результата равен 1; 0 – старший бит результата равен 0
	Флаг переполнения (Overflow Flag)		Флаг of используется для фиксирования факта потери значащего бита при арифметических операциях: 1 – в результате операции происходит перенос (заем) в(из) старшего, знакового бита результата (биты 7, 15 или 31 для 8, 16 или 32-разрядных операндов соответственно); 0 – в результате операции не происходит переноса (заема) в(из) старшего, знакового бита результата

1. Что такое вектор?

2. Сложение векторов.

3. Равенство векторов.

4. Скалярное произведение двух векторов и его свойства.

5. Свойства операций над векторами.

6. Доказательства и решение задач.

Одним из фундаментальных понятий современной математики являются вектор и его обобщение – тензор. Эволюция понятия вектора осуществлялась благодаря широкому использованию этого понятия в различных областях математики, механики, а так же в технике.

Конец прошлого и начало текущего столетия ознаменовались широким развитием векторного исчисления и его приложений. Были созданы векторная алгебра и векторный анализ, общая теория векторного пространства. Эти теории были использованы при построении специальной и общей теории относительности, которые играют исключительно важную роль в современной физике.

В соответствии с требованиями новой программы по математике понятие вектора стало одним из ведущих понятий школьного курса математики.

Что же такое вектор? Как ни странно, ответ на этот вопрос представляет известные затруднения. Существуют различные подходы к определению понятия вектора; при этом даже если ограничиться лишь наиболее интересным здесь для нас элементарно-геометрическим подходом к понятию вектора, то и тогда будут иметься различные взгляды на это понятие. Разумеется, какое бы определение мы ни взяли, вектор – с элементарно-геометрической точки зрения - есть геометрический объект, характеризуемый направлением (т.е. заданной с точностью до параллельности прямой и направлением на ней) и длиной.Однако такое определение является слишком общим, не вызывающим конкретных геометрических представлений. Согласно этому общему определению параллельный перенос можно считать вектором. И действительно, можно было бы принять такое определение: “Вектором называется всякий параллельный перенос”. Это определение логически безупречно, и на его основе может быть построена вся теория действий над векторами и развиты приложения этой теории. Однако это определение, несмотря на его полную конкретность, нас здесь также не может удовлетворить, так как представление о векторе как о геометрическом преобразовании кажется нам недостаточно наглядным и далеким от физических представлений о векторных величинах.

Итак, вектором называется семейство всех параллельных между собой одинаково направленных и имеющих одинаковую длину отрезков (рис.1).

Вектор изображают на чертежах отрезком со стрелкой (т.е. изображают не все семейство отрезков, представляющее собой вектор, а лишь один из этих отрезков). Для обозначения векторов в книгах и статьях применяют жирные латинские буквы а, в, с и так далее, а в тетрадях и на доске – латинские буквы с черточкой сверху, Той же буквой, но не жирной, а светлой (а в тетради и на доске- той же буквой без черточки) обозначают длину вектора. Длину иногда обозначают также вертикальными черточками – как модуль (абсолютную величину) числа. Таким образом, длина вектора а обозначается через а или Iа I, а в рукописном тексте длина вектора а обозначается через а или Iа I. В связи с изображением векторов в виде отрезков (рис.2) следует помнить, что концы отрезка, изображающего вектор, неравноправны: одного конца отрезка к другому.

Различают начало и конец вектора (точнее, отрезка, изображающего вектор).

Весьма часто понятию вектора дается другое определение:вектором называется направленный отрезок. При этом векторы (т.е. направленные отрезки), имеющие одинаковую длину и одно и то же направление (рис.3), уславливаются считать равными.

Векторы называются одинаково направленными, если их полупрямые одинаково направлены.

Сложение векторов.

Все сказанное пока еще не дает понятие вектора достаточно содержательным и полезным. Большую содержательность и богатую возможность приложений понятие вектора получает тогда, когда мы вводим своеобразную “геометрическую арифметику” – арифметику векторов, позволяющую складывать векторы, вычитать их и производить над ними целый ряд других операций. Отметим в связи с этим, что ведь и понятие числа становится интересным лишь при введении арифметических действий, а не само по себе.

Суммой векторов а и в с координатами а 1 , а 2 и в 1 , в 2 называется вектор с с координатами а 1 + в 1 , а 2 + в 2 , т.е. а (а 1 ; а 2) + в (в 1 ;в 2) = с (а 1 + в 1 ; а 2 + в 2).
Для доказательства коммутативности сложения векторов на плоскости необходимо рассмотреть пример.а и в – векторы (рис.5).
Пусть

1. Строим параллелограмм ОАСВ: АМ II ОВ, ВН II ОА.

Для доказательства ассоциативности мы отложим от произвольной точки О вектор ОА = а, от точки А вектор АВ = в и от точки в – вектор ВС = с. Тогда мы имеем:АВ + ВС =АС.
откуда и следует равенство а + ( в + с ) = (а + в ) + с. Заметим, что приведенное доказательство совсем не использует чертежа. Это характерно (при некотором навыке) для решения задач при помощи векторов. Остановимся теперь на случае, когда векторы а и в направлены в противоположные стороны и имеют равные длины; такие векторы называют противоположными. Наше правило сложения векторов приводит к тому, что сумма двух противоположных векторов представляет собой “вектор”, имеющий нулевую длину и не имеющий никакого направления; этот “вектор” изображается “отрезком нулевой длины”, т.е. точкой. Но это тоже вектор, который называется нулевым и обозначается символом 0.

Равенство векторов.

Определение

Скалярная величина - величина, которая может быть охарактеризована числом. Например, длина, площадь , масса, температура и т.д.

Вектором называется направленный отрезок $\overline{A B}$; точка $A$ - начало, точка $B$ - конец вектора (рис. 1).

Вектор обозначается либо двумя большими буквами - своим началом и концом: $\overline{A B}$ либо одной малой буквой: $\overline{a}$.

Определение

Если начало и конец вектора совпадают, то такой вектор называется нулевым . Чаще всего нулевой вектор обозначается как $\overline{0}$.

Векторы называются коллинеарными , если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых (рис. 2).

Определение

Два коллинеарных вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называются сонаправленными , если их направления совпадают: $\overline{a} \uparrow \uparrow \overline{b}$ (рис. 3, а). Два коллинеарных вектора $\overline{a}$ и $\overline{b}$ называются противоположно направленными , если их направления противоположны: $\overline{a} \uparrow \downarrow \overline{b}$ (рис. 3, б).

Определение

Векторы называются компланарными , если они параллельны одной плоскости или лежат в одной плоскости (рис. 4).

Два вектора всегда компланарны.

Определение

Длиной (модулем) вектора $\overline{A B}$ называется расстояние между его началом и концом: $|\overline{A B}|$

Подробная теория про длину вектора по ссылке .

Длина нулевого вектора равна нулю.

Определение

Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом .

Векторы называются равными , если они лежат на одной или параллельных прямых; их направления совпадают и длины равны.

Иначе говоря, два вектора равны , если они коллинеарны, сонаправлены и имеют равные длины:

$\overline{a}=\overline{b}$ , если $\overline{a} \uparrow \uparrow \overline{b},|\overline{a}|=|\overline{b}|$

В произвольной точке $M$ пространства можно построить единственный вектор $\overline{M N}$, равный заданному вектору $\overline{A B}$.

2018 Ольшевский Андрей Георгиевич

Сайт наполняется книгами, вы можете книги скачать

Векторы на плоскости и в пространстве, способы решения задач, примеры, формулы

1 Векторы в пространстве

Векторы в пространстве включают геометрия 10, 11 класс и аналитическая геометрия. Векторы позволяют эффектно решать геометрические задачи второй части ЕГЭ и аналитической геометрии в пространстве. Векторы в пространстве даются так же как и векторы на плоскости, но учитывается третья координата z . Исключение из векторов в пространстве третьего измерения дает векторы на плоскости, которые объясняет геометрия 8, 9 класс.

1.1 Вектор на плоскости и в пространстве

Вектор - это направленный отрезок с началом и концом, изображаемым на рисунке стрелкой. Произвольная точка пространства может считаться нулевым вектором. Нулевой вектор не имеет конкретного направления, так как начало и конец совпадают, поэтому ему можно придать любое направление.

Vector в переводе с английского обозначает вектор, направление, курс, наведение, задание направления, курс самолета.

Длина (модуль) ненулевого вектора - это длина отрезка AB , которая обозначается
. Длина вектора обозначается . Нулевой вектор имеет длину равную нулю = 0.

Коллинеарными называются ненулевые векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых.

Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Сонаправленными называются коллинеарные ненулевые векторы, имеющие одно направление. Сонаправленные векторы обозначаются знаком . Например, если вектор сонаправлен с вектором , то используется запись .

Нулевой вектор сонаправлен с любым вектором.

Противоположно направленными называются два коллинеарных ненулевых вектора, имеющих противоположное направление. Противоположно направленные векторы обозначаются знаком ↓. Например, если вектор противоположно направлен вектору , то используется запись ↓ .

Равными называются сонаправленные векторы равной длины.

Многие физические величины являются векторными величинами: сила, скорость, электрическое поле.

Если не задана точка приложения (начала) вектора, то она выбирается произвольно.

Если в точку O поместить начало вектора, то считается, что вектор отложен от точки O . Из любой точки можно отложить единственный вектор, равный данному вектору.

1.2 Сумма векторов

При сложении векторов по правилу треугольника, проводится вектор 1, из конца которого проводится вектор 2 и суммой двух данных векторов является вектор 3, проведенный из начала вектора 1 к концу вектора 2:

Для произвольных точек A , B и C можно написать сумму векторов:

+
=

Если два вектора выходят из одной точки

то их лучше складывать по правилу параллелограмма.

При сложении двух векторов по правилу параллелограмма, складываемые векторы откладываются из одной точки, из концов этих векторов достраивается параллелограмм путем прикладывания к концу одного вектора начала другого. Вектор, образованный диагональю параллелограмма, берущий начало от точки начала складываемых векторов, будет являться суммой векторов

Правило параллелограмма содержит в себе разный порядок сложения векторов по правилу треугольника.

Законы сложения векторов:

1. Переместительный закон + = + .

2. Сочетательный закон ( + ) + = + ( + ).

Если необходимо сложить несколько векторов, то векторы складываются попарно или по правилу многоугольника: из конца вектора 1 проводится вектор 2, из конца вектора 2 проводится вектор 3, из конца вектора 3 проводится вектор 4, из конца вектора 4 проводится вектор 5 и т. д. Вектор, являющийся суммой нескольких векторов, проводится от начала вектора 1 до конца последнего вектора.

По законам сложения векторов порядок сложения векторов не влияет на результирующий вектор, являющийся суммой нескольких векторов.

Противоположными называются два ненулевых противоположно направленных вектора равной длины. Вектор - является противоположным вектору

Эти векторы противоположно направленные и равны по модулю.

1.3 Разность векторов

Разность векторов можно записать в виде суммы векторов

- = + (-),

где "- " - вектор, противоположный вектору .

Векторы и - можно складывать по правилу треугольника или параллелограмма.

Пусть даны векторы и

Для нахождения разности векторов - строим вектор -

Векторы и - складываем по правилу треугольника, прикладывая к концу вектора начало вектора - , получили вектор + (-) = -

Векторы и - складываем по правилу параллелограмма, отложив начала векторов и - из одной точки

Если векторы и берут начало из одной точки

,

то разность векторов - дает вектор, соединяющий их концы и стрелка на конце результирующего вектора ставится в направлении того вектора, от которого отнимают второй вектор

Рисунок ниже демонстрирует сложение и разность векторов

Рисунок ниже демонстрирует сложение и разность векторов разными способами

Задача. Даны векторы и .

Изобразить сумму и разность векторов всеми возможными способами во всевозможных сочетаниях векторов.

1.4 Лемма о коллинеарных векторах

= k

1.5 Произведение вектора на число

Произведение ненулевого вектора на число k дает вектор = k , коллинеарный вектору . Длина вектора :

| | = |k |·| |

Если k > 0, то векторы и сонаправленные.

Если k = 0, то вектор нулевой.

Если k < 0, то векторы и противоположно направленные.

Если |k | = 1, то векторы и равной длины.

Если k = 1, то и равные векторы.

Если k = -1, то и противоположные векторы.

Если |k | > 1, то длина вектора больше длины вектора .

Если k > 1, то векторы и сонаправленные и длина больше длины вектора .

Если k < -1, то векторы и противоположно направленные и длина больше длины вектора .

Если |k | < 1, то длина вектора меньше длины вектора .

Если 0 < k < 1, то векторы и сонаправленные и длина меньше длины вектора .

Если -1 < k < 0, то векторы и противоположно направленные и длина меньше длины вектора .

Произведение нулевого вектора на число дает нулевой вектор.

Задача. Дан вектор .

Построить векторы 2 , -3 , 0,5 , -1,5 .

Задача. Даны векторы и .

Построить векторы 3 + 2 , 2 - 2 , -2 - .

Законы, описывающие умножение вектора на число

1. Сочетательный закон (kn ) = k (n )

2. Первый распределительный закон k ( + ) = k + k .

3. Второй распределительный закон (k + n ) = k + n .

Для коллинеарных векторов и , если ≠ 0, существует единственное число k , позволяющее выразить вектор через :

= k

1.6 Компланарные векторы

Компланарными называются векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если провести векторы, равные данным компланарным векторам из одной точки, то они будут лежать в одной плоскости. Поэтому можно сказать, что компланарными называются векторы, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости.

Два произвольных вектора всегда компланарны. Три вектора могут быть компланарными или не компланарными. Три вектора, из которых хотя бы два коллинеарные, компланарны. Коллинеарные векторы всегда компланарны.

1.7 Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам

Любой вектор единственным образом разлагается на плоскости по двум неколлинеарным ненулевым векторам и с единственными коэффициентами разложения x и y :

= x + y

Любой вектор , компланарный ненулевым векторам и , единственным образом разлагается по двум неколлинеарным векторам и с единственными коэффициентами разложения x и y :

= x + y

Разложим на плоскости заданный вектор по данным неколлинеарным векторам и :

Проведем из одной точки заданные компланарные векторы

Из конца вектора проведем прямые, параллельные векторам и до пересечения с прямыми, проведенными через вектора и . Получим параллелограмм

Длины сторон параллелограмма получаются путем умножения длин векторов и на числа x и y , которые определяются путем деления длин сторон параллелограмма на длины соответствующих им векторов и . Получаем разложение вектора по заданным неколлинеарным векторам и :

= x + y

В решаемой задаче x ≈ 1,3, y ≈ 1,9, поэтому разложение вектора по заданным неколлинеарным векторам и можно записать в виде

1,3 + 1,9 .

В решаемой задаче x ≈ 1,3, y ≈ -1,9, поэтому разложение вектора по заданным неколлинеарным векторам и можно записать в виде

1,3 - 1,9 .

1.8 Правило параллелепипеда

Параллелепипед - это объемная фигура, противоположные грани которой состоят из двух равных параллелограммов, лежащих в параллельных плоскостях.

Правило параллелепипеда позволяет складывать три некомпланарных вектора, которые откладываются из одной точки и строится параллелепипед так, чтобы суммируемые векторы образовывали его ребра, а остальные ребра параллелепипеда были соответственно параллельны и равны длинам ребер, образованных суммируемыми векторами. Диагональ параллелепипеда образует вектор, являющийся суммой заданных трех векторов, который начинается из точки начала складываемых векторов.

1.9 Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Любой вектор разлагается по трем заданным некомпланарным векторам , и с единственными коэффициентами разложения x , y , z :

= x + y + z .

1.10 Прямоугольная система координат в пространстве

В трехмерном пространстве прямоугольная система координат Oxyz задается началом координат O и пересекающими в ней взаимно перпендикулярными координатными осями Ox , Oy и Oz с выбранными положительными направлениями, указанными стрелками, и единицей измерения отрезков. Если масштаб отрезков одинаковый по всем трем осям, то такая система называется декартовой системой координат.

Координата x называется абсциссой, y - ординатой, z - аппликатой. Координаты точки M записываются в скобках M (x ; y ; z ).

1.11 Координаты вектора в пространстве

В пространстве зададим прямоугольную систему координат Oxyz . От начала координат в положительных направлениях осей Ox , Oy , Oz проведем соответствующие единичные векторы , , , которые называются координатными векторами и некомпланарны. Поэтому любой вектор разлагается по трем заданным некомпланарным координатным векторам , и с единственными коэффициентами разложения x , y , z :

= x + y + z .

Коэффициенты разложения x , y , z являются координатами вектора в заданной прямоугольной системе координат, которые записываются в скобках (x ; y ; z ). Нулевой вектор имеет координаты равные нулю (0; 0; 0). У равных векторов соответствующие координаты равны.

Правила нахождения координат результирующего вектора:

1. При суммировании двух и более векторов каждая координата результирующего вектора равна сумме соответствующих координат заданных векторов. Если даны два вектора (x 1 ; y 1 ; z 1) и (x 1 ; y 1 ; z 1), то сумма векторов + дает вектор с координатами (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

+ = (x 1 + x 1 ; y 1 + y 1 ; z 1 + z 1)

2. Разность является разновидностью суммы, поэтому разность соответствующих координат дает каждую координату вектора, полученного при вычитании двух заданных векторов. Если даны два вектора (x a ; y a ; z a ) и (x b ; y b ; z b ), то разность векторов - дает вектор с координатами (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

- = (x a - x b ; y a - y b ; z a - z b )

3. При умножении вектора на число каждая координата результирующего вектора равна произведению этого числа на соответствующую координату заданного вектора. Если даны число k и вектор (x ; y ; z ), то умножение вектора на число k дает вектор k с координатами

k = (kx ; ky ; kz ).

Задача. Найти координаты вектора = 2 - 3 + 4 , если координаты векторов (1; -2; -1), (-2; 3; -4), (-1; -3; 2).

Решение

2 + (-3) + 4

2 = (2·1; 2·(-2); 2·(-1)) = (2; -4; -2);

3 = (-3·(-2); -3·3; -3·(-4)) = (6; -9; 12);

4 = (4·(-1); 4·(-3); 4·2) = (-4; -12; 8).

= (2 + 6 - 4; -4 - 9 -12; -2 + 12 + 8) = (4; -25; 18).

1.12 Координаты вектора, радиус-вектора и точки

Координаты вектора - это координаты конца вектора, если начало вектора поместить в начало координат.

Радиус-вектор - это вектор, проведенный из начала координат к данной точке, координаты радиус-вектора и точки равны.

Если вектор
задан точками M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), то каждая из его координат равна разности соответствующих координат конца и начала вектора

Для коллинеарных векторов = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ; z 2), если ≠ 0, существует единственное число k , позволяющее выразить вектор через :

= k

Тогда координаты вектора выражаются через координаты вектора

= (kx 1 ; ky 1 ; kz 1)

Отношение соответствующих координат коллинеарных векторов равно единственному числу k

1.13 Длина вектора и расстояние между двумя точками

Длина вектора (x ; y ; z ) равна корню квадратному из суммы квадратов его координат

Длина вектора , заданного точками начала M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и конца M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) равна корню квадратному из суммы квадратов разности соответствующих координат конца вектора и начала

Расстояние d между двумя точками M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) равно длине вектора

На плоскости отсутствует координата z

Расстояние между точками M 1 (x 1 ; y 1) и M 2 (x 2 ; y 2)

1.14 Координаты середины отрезка

Если точка C - середина отрезка AB , то радиус-вектор точки C в произвольной системе координат с началом в точке O равен половине суммы радиус-векторов точек A и B

Если координаты векторов
(x ; y ; z ),
(x 1 ; y 1 ; z 1),
(x 2 ; y 2 ; z 2), то каждая координата вектора равна половине суммы соответствующих координат векторов и

,
,

= (x , y , z ) =

Каждая из координат середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.

1.15 Угол между векторами

Угол между векторами - равен углу между проведенными из одной точки лучами, сонаправленными с этими векторами. Угол между векторами может быть от 0 0 до 180 0 включительно. Угол между сонаправленными векторами равен 0 0 . Если один вектор или оба нулевые, то угол между векторами, хотя бы один из которых нулевой, равен 0 0 . Угол между перпендикулярными векторами равен 90 0 . Угол между противоположно направленными векторами 180 0 .

1.16 Проекция вектора

1.17 Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов - это число (скаляр), равное произведению длин векторов на косинус угла между векторами

Если = 0 0 , то векторы сонаправлены
и
= cos 0 0 = 1, следовательно, скалярное произведение сонаправленных векторов равно произведению их длин (модулей)

.

Если угол между векторами 0 < < 90 0 , то косинус угла между такими векторами больше нуля
, следовательно скалярное произведение больше нуля
.

Если ненулевые векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю
, так как cos 90 0 = 0. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю.

Если
, то косинус угла между такими векторами меньше нуля
, следовательно скалярное произведение меньше нуля
.

При увеличении угла между векторами косинус угла между ними
уменьшается и достигает минимального значения при = 180 0 , когда векторы противоположно направлены
. Так как cos 180 0 = -1, то
. Скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин (модулей).

Скалярный квадрат вектора равен модулю вектора в квадрате

Скалярное произведение векторов, по крайней мере один из которых нулевой, равно нулю.

1.18 Физический смысл скалярного произведения векторов

Из курса физики известно, что работа A силы при перемещении тела равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними, то есть равна скалярному произведению векторов силы и перемещения

Если вектор силы сонаправлен с перемещением тела , то угол между векторами
= 0 0 , следовательно работа силы на перемещении максимальна и равна A =
.

Если 0 < < 90 0 , то работа силы на перемещении положительна A > 0.

Если = 90 0 , то работа силы на перемещении равна нулю A = 0.

Если 90 0 < < 180 0 , то работа силы на перемещении отрицательна A < 0.

Если вектор силы противоположно направлен перемещению тела , то угол между векторами = 180 0 , следовательно работа силы на перемещении отрицательна и равна A = - .

Задача. Определить работу силы тяжести при подъеме легкового автомобиля массой 1 тонна по трассе длинной 1 км, имеющей угол наклона 30 0 к горизонту. Сколько литров воды при температуре 20 0 можно вскипятить, используя эту энергию?

Решение

Работа A силы тяжести при перемещении тела равна произведению длин векторов и на косинус угла между ними, то есть равна скалярному произведению векторов силы тяжести и перемещения

Сила тяжести

G = mg = 1000 кг · 10 м/с 2 = 10 000 Н.

= 1000 м.

Угол между векторами = 120 0 . Тогда

cos 120 0 = cos (90 0 + 30 0) = - sin 30 0 = - 0,5.

Подставляем

A = 10 000 Н · 1000 м · (-0,5) = - 5 000 000 Дж = - 5 МДж.

1.19 Скалярное произведение векторов в координатах

Скалярное произведение двух векторов = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ; z 2) в прямоугольной системе координат равно сумме произведений одноименных координат

= x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 .

1.20 Условие перпендикулярности векторов

Если ненулевые векторы = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ; z 2) перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю

Если задан один ненулевой вектор = (x 1 ; y 1 ; z 1), то координаты перпендикулярного (нормального) ему вектора = (x 2 ; y 2 ; z 2) должны удовлетворять равенству

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 = 0.

Таких векторов бесконечное множество.

Если на плоскости задан один ненулевой вектор = (x 1 ; y 1), то координаты перпендикулярного (нормального) ему вектора = (x 2 ; y 2) должны удовлетворять равенству

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0.

Если на плоскости задан ненулевой вектор = (x 1 ; y 1), то достаточно задать произвольно одну из координат перпендикулярного (нормального) ему вектора = (x 2 ; y 2) и из условия перпендикулярности векторов

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

выразить вторую координату вектора .

Например, если подставить произвольную координату x 2 , то

y 1 y 2 = - x 1 x 2 .

Вторая координата вектора

Если придать x 2 = y 1 , то вторая координата вектора

Если на плоскости задан ненулевой вектор = (x 1 ; y 1), то перпендикулярный (нормальный) ему вектор = (y 1 ; -x 1).

Если одна из координат ненулевого вектора равна нулю, то у вектора такая же координата не равна нулю, а вторая координата равна нулю. Такие векторы лежат на осях координат, поэтому перпендикулярны.

Определим второй вектор, перпендикулярный вектору = (x 1 ; y 1), но противоположный вектору , то есть вектор - . Тогда достаточно поменять знаки координат вектора

- = (-y 1 ; x 1)

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

Задача.

Решение

Координаты двух векторов, перпендикулярных вектору = (x 1 ; y 1) на плоскости

1 = (y 1 ; -x 1),

2 = (-y 1 ; x 1).

Подставляем координаты вектора = (3; -5)

1 = (-5; -3),

2 = (-(-5); 3) = (5; 3).

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·(-5) + (-5)·(-3) = -15 + 15 = 0

верно!

3·5 + (-5)·3 = 15 - 15 = 0

верно!

Ответ: 1 = (-5; -3), 2 = (5; 3).

Если присвоить x 2 = 1, подставить

x 1 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1

Получим координату y 2 вектора, перпендикулярного вектору = (x 1 ; y 1)

Для получения второго вектора, перпендикулярного вектору = (x 1 ; y 1), но противоположно направленного вектору . Пусть

Тогда достаточно поменять знаки координат вектора .

Координаты двух векторов, перпендикулярных вектору = (x 1 ; y 1) на плоскости

Задача. Задан вектор = (3; -5). Найти два нормальных вектора с различной ориентацией.

Решение

Координаты двух векторов, перпендикулярных вектору = (x 1 ; y 1) на плоскости

Координаты одного вектора

Координаты второго вектора

Для проверки перпендикулярности векторов подставим их координаты в условие перпендикулярности векторов

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0

3·1 + (-5)·0,6 = 3 - 3 = 0

верно!

3·(-1) + (-5)·(-0,6) = -3 + 3 = 0

верно!

Ответ: и .

Если присвоить x 2 = - x 1 , подставить

x 1 (-x 1) + y 1 y 2 = 0.

-x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = x 1 2

Получим координату вектора, перпендикулярного вектору

Если присвоить x 2 = x 1 , подставить

x 1 x 1 + y 1 y 2 = 0.

x 1 2 + y 1 y 2 = 0.

y 1 y 2 = -x 1 2

Получим координату y второго вектора, перпендикулярного вектору

Координаты одного вектора, перпендикулярного на плоскости вектору = (x 1 ; y 1)

Координаты второго вектора, перпендикулярного на плоскости вектору = (x 1 ; y 1)

Координаты двух векторов, перпендикулярных вектору = (x 1 ; y 1) на плоскости

1.21 Косинус угла между векторами

Косинус угла между двумя ненулевыми векторами = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ; z 2) равен скалярному произведению векторов, деленному на произведение длин этих векторов

Если
= 1, то угол между векторами равен 0 0 , векторы сонаправлены.

Если 0 < < 1, то 0 0 < < 90 0 .

Если = 0, то угол между векторами равен 90 0 , векторы перпендикулярны.

Если -1 < < 0, то 90 0 < < 180 0 .

Если = -1, то угол между векторами равен 180 0 , векторы противоположно направлены.

Если какой-то вектор задан координатами начала и конца, то отнимая от соответствующих координат конца вектора координаты начала, получаем координаты этого вектора.

Задача. Найти угол между векторами (0; -2; 0), (-2; 0; -4).

Решение

Скалярное произведение векторов

= 0·(-2) + (-2)·0 + 0·(-4) = 0,

следовательно угол между векторами равен = 90 0 .

1.22 Свойства скалярного произведения векторов

Свойства скалярного произведения справедливы при любых , , , k :

1.
, если
, то
, если = , то
= 0.

2. Переместительный закон

3. Распределительный закон

4. Сочетательный закон
.

1.23 Направляющий вектор прямой

Направляющий вектор прямой - это ненулевой вектор, лежащий на прямой или на прямой, параллельной данной прямой.

Если прямая задана двумя точками M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), то направляющим является вектор
или противоположный ему вектор
= - , координаты которых

Систему координат желательно задать так, чтобы прямая проходила через начало координат, тогда координаты единственной точки на прямой и будут координатами направляющего вектора.

Задача. Определить координаты направляющего вектора прямой, проходящей через точки M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0).

Решение

Направляющий вектор прямой проходящей через точки M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) обозначим
. Каждая из его координат равна разности соответствующих координат конца и начала вектора

= (0 - 1; 1 - 0; 0 - 0) = (-1; 1; 0)

Изобразим направляющий вектор прямой в системе координат с началом в точке M 1 , с концом в точке M 2 и равный ему вектор
из начала координат с концом в точке M (-1; 1; 0)

1.24 Угол между двумя прямыми

Возможные варианты взаимного расположения 2-х прямых на плоскости и угла между такими прямыми:

1. Прямые пересекаются в единственной точке, образуя 4 угла, 2 пары вертикальных углов попарно равны. Угол φ между двумя пересекающимися прямыми является углом, не превышающим три других угла между этими прямыми. Поэтому угол между прямыми φ ≤ 90 0 .

Пересекающиеся прямые могут быть, в частности, перпендикулярны φ = 90 0 .

Возможные варианты взаимного расположения 2-х прямых в пространстве и угла между такими прямыми:

1. Прямые пересекаются в единственной точке, образуя 4 угла, 2 пары вертикальных углов попарно равны. Угол φ между двумя пересекающимися прямыми является углом, не превышающим три других угла между этими прямыми.

2. Прямые параллельны, то есть не совпадают и не пересекаются, φ=0 0 .

3. Прямые совпадают, φ = 0 0 .

4. Прямые скрещиваются, то есть не пересекаются в пространстве и не параллельны. Углом φ между скрещивающимися прямыми является угол между прямыми, проведенными параллельно этим прямым так, чтобы они пересекались. Поэтому угол между прямыми φ ≤ 90 0 .

Угол между 2-мя прямыми равен углу между прямыми, проведенными параллельно этим прямым в одной плоскости. Поэтому угол между прямыми 0 0 ≤ φ ≤ 90 0 .

Угол θ (тета) между векторами и 0 0 ≤ θ ≤ 180 0 .

Если угол φ между прямыми α и β равен углу θ между направляющими векторами этих прямых φ = θ, то

cos φ = cos θ.

Если угол между прямыми φ = 180 0 - θ, то

cos φ = cos (180 0 - θ) = - cos θ.

cos φ = - cos θ.

Поэтому косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между векторами

cos φ = |cos θ|.

Если заданы координаты ненулевых векторов = (x 1 ; y 1 ; z 1) и = (x 2 ; y 2 ; z 2), то косинус угла θ между ними

Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами этих прямых

cos φ = |cos θ| =

Прямые являются одинаковыми геометрическими объектами, поэтому и одинаковые тригонометрические функции cos присутствуют в формуле.

Если каждая из двух прямых задана двумя точками, то можно определить направляющие векторы этих прямых и косинус угла между прямыми.

Если cos φ = 1, то угол φ между прямыми равен 0 0 , можно принять для этих прямых один из направляющих векторов этих прямых, прямые параллельны или совпадают. Если прямые не совпадают, то они параллельны. Если прямые совпадают, то любая точка одной прямой принадлежит другой прямой.

Если 0 < cos φ ≤ 1, то угол между прямыми 0 0 < φ ≤ 90 0 , прямые пересекаются или скрещиваются. Если прямые не пересекаются, то они скрещиваются. Если прямые пересекаются, то они имеют общую точку.

Если cos φ = 0, то угол φ между прямыми 90 0 (прямые перпендикулярны), прямые пересекаются или скрещиваются.

Задача. Определить угол между прямыми M 1 M 3 и M 2 M 3 с координатами точек M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1).

Решение

Построим заданные точки и прямые в системе координат Oxyz .

Направляющие векторы прямых направим так, чтобы угол θ между векторами совпадал с углом φ между заданными прямыми. Изобразим векторы =
и =
, а также углы θ и φ:

Определим координаты векторов и

= = (1 - 0; 0 - 0; 0 - 1) = (1; 0; -1);

= = (0 - 0; 1 - 0; 0 - 1) = (0; 1; -1). d = 0 и ax + by + cz = 0;

Плоскость параллельна той оси координат, обозначение которой отсутствует в уравнении плоскости и, следовательно, соответствующий коэффициент равен нулю, например, при c = 0 плоскость параллельна оси Oz и не содержит z в уравнении ax + by + d = 0 ;

Плоскость содержит ту ось координат, обозначение которой отсутствует, следовательно, соответствующий коэффициент равен нулю и d = 0, например, при c = d = 0 плоскость параллельна оси Oz и не содержит z в уравнении ax + by = 0;

Плоскость параллельна координатной плоскости, обозначения которой отсутствуют в уравнении плоскости и, следовательно, соответствующие коэффициенты равны нулю, например, при b = c = 0 плоскость параллельна координатной плоскости Oyz и не содержит y , z в уравнении ax + d = 0.

Если плоскость совпадает с координатной плоскостью, то уравнение такой плоскости представляет из себя равенство нулю обозначения координатной оси, перпендикулярной данной координатной плоскости, например, при x = 0 заданная плоскость является координатной плоскостью Oyz .

Задача. Нормальный вектор задан уравнением

Представить уравнение плоскости в нормальной форме.

Решение

Координаты нормального вектора

A ; b ; c ), то можно подставить координаты точки M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) и координаты a , b , c нормального вектора в общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0 (1)

Получаем уравнение с одной неизвестной d

ax 0 + by 0 + cz 0 + d = 0

Отсюда

d = -(ax 0 + by 0 + cz 0 )

Уравнение плоскости (1) после подстановки d

ax + by + cz - (ax 0 + by 0 + cz 0) = 0

Получаем уравнение плоскости, проходящей через точку M 0 (x 0 ; y 0 ; z 0) перпендикулярно не нулевому вектору (a ; b ; c )

a (x - x 0) + b (y - y 0) + c (z - z 0) = 0

Раскроем скобки

ax - ax 0 + by - by 0 + cz - cz 0 = 0

ax + by + cz - ax 0 - by 0 - cz 0 = 0

Обозначим

d = - ax 0 - by 0 - cz 0

Получим общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0.

1.29 Уравнение плоскости, проходящей через две точки и начало координат

ax + by + cz + d = 0.

Систему координат желательно задать так, чтобы плоскость проходила через начало этой системы координат. Точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2), лежащие в этой плоскости, необходимо задать так, чтобы прямая, соединяющая эти точки не проходила через начало координат.

Плоскость будет проходить через начало координат, поэтому d = 0. Тогда общее уравнение плоскости принимает вид

ax + by + cz = 0.

Неизвестно 3 коэффициента a , b , c . Подстановка координат двух точек в общее уравнение плоскости дает систему 2-х уравнений. Если принять какой-то коэффициент в общем уравнении плоскости равным единице, тогда система 2-х уравнений позволит определить 2 неизвестных коэффициента.

Если одна из координат точки нулевая, то за единицу принимается коэффициент, соответствующий этой координате.

Если у какой-то точки две координаты нулевые, то за единицу принимается коэффициент, соответствующий одной из этих нулевых координат.

Если принимается a = 1, тогда система 2-х уравнений позволит определить 2 неизвестных коэффициента b и c :

Систему этих уравнений проще решить помножив какое-то уравнение на такое число, чтобы коэффициенты при какой-то неизвестной стали равны. Тогда разность уравнений позволит исключить эту неизвестную, определить другую неизвестную. Подстановка найденной неизвестной в любое уравнение позволит определить и вторую неизвестную.

1.30 Уравнение плоскости, проходящей через три точки

Определим коэффициенты общего уравнения плоскости

ax + by + cz + d = 0,

проходящей через точки M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; y 2 ; z 2) и M 3 (x 3 ; y 3 ; z 3). У точек не должно быть двух одинаковых координат.

Неизвестно 4 коэффициента a , b , c и d . Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости дает систему 3-х уравнений. Принять какой-то коэффициент в общем уравнении плоскости равным единице, тогда система 3-х уравнений позволит определить 3 неизвестных коэффициента. Обычно принимается a = 1, тогда система 3-х уравнений позволит определить 3 неизвестных коэффициента b , c и d :

Систему уравнений лучше решать методом исключения неизвестных (методом Гаусса). Можно переставлять уравнения в системе. Любое уравнение можно умножить или поделить на любой коэффициент не равный нулю. Любые два уравнения можно сложить и результирующее уравнение записать вместо любого из этих двух складываемых уравнений. Из уравнений исключаются неизвестные, получением нулевого коэффициента перед ними. В одном уравнении, обычно самом нижнем остается одна переменная, которая определяется. Найденная переменная подставляется во второе уравнение снизу, в котором обычно остается 2 неизвестные. Уравнения решаются снизу вверх и определяются все неизвестные коэффициенты.

Коэффициенты ставятся впереди неизвестных, а свободные от неизвестных члены переносятся в правую часть уравнений

В верхнюю строку обычно ставится уравнение, имеющее коэффициент 1 перед первой или любой неизвестной, или все первое уравнение делится на коэффициент перед первой неизвестной. В данной системе уравнений разделим первое уравнение на y 1

Перед первой неизвестной получили коэффициент 1:

Для обнуления коэффициента перед первой переменной второго уравнения помножим первое уравнение на -y 2 , сложим его со вторым уравнением и полученное уравнение запишем вместо второго уравнения. Первая неизвестная во втором уравнении будет исключена, потому что

y 2 b - y 2 b = 0.

Аналогично исключаем первую неизвестную в третьем уравнении, помножив первое уравнение на -y 3 , сложив его с третьим уравнением и полученное уравнение записав вместо третьего уравнения. Первая неизвестная в третьем уравнении будет также исключена, потому что

y 3 b - y 3 b = 0.

Аналогично исключаем вторую неизвестную в третьем уравнении. Решаем систему снизу вверх.

Задача.

ax + by + cz + d = 0,

проходящей через точки M 1 (0; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и y + 0·z + 0 = 0

x = 0.

Заданная плоскость является координатной плоскостью Oyz .

Задача. Определить общее уравнение плоскости

ax + by + cz + d = 0,

проходящей через точки M 1 (1; 0; 0), M 2 (0; 1; 0) и M 3 (0; 0; 1). Найти расстояние от этой плоскости до точки M 0 (10; -3; -7).

Решение

Построим заданные точки в системе координат Oxyz .

Примем a = 1. Подстановка координат трех точек в общее уравнение плоскости дает систему 3-х уравнений

ℓ =

Веб-страницы: 1 2 Векторы на плоскости и в пространстве (продолжение)

Консультации Ольшевского Андрея Георгиевича по Skype da .irk .ru

Подготовка студентов и школьников по математике, физике, информатике, школьников желающих получить много баллов (часть C) и слабых учеников к ОГЭ (ГИА) и ЕГЭ. Одновременное улучшение текущей успеваемости путем развития памяти, мышления, понятного объяснения сложного, наглядного преподнесения предметов. Особый подход к каждому ученику. Подготовка к олимпиадам, обеспечивающим льготы при поступлении. 15-летний опыт улучшения успеваемости учеников.

Высшая математика, алгебра, геометрия, теория вероятностей, математическая статистика, линейное программирование.

Понятное объяснение теории, ликвидация пробелов в понимании, обучение приемам решения задач, консультирование при написании курсовых, дипломов.

Авиационные, ракетные и автомобильные двигатели. Гиперзвуковые, прямоточные, ракетные, импульсные детонационные, пульсирующие, газотурбинные, поршневые двигатели внутреннего сгорания - теория, конструкция, расчет, прочность, проектирование, технология изготовления. Термодинамика, теплотехника, газовая динамика, гидравлика.

Авиация, аэромеханика, аэродинамика, динамика полета, теория, конструкция, аэрогидромеханика. Сверхлегкие летательные аппараты, экранопланы, самолеты, вертолеты, ракеты, крылатые ракеты, аппараты на воздушной подушке, дирижабли, винты - теория, конструкция, расчет, прочность, проектирование, технология изготовления.

Генерация, внедрение идей. Основы научных исследований, методы генерации, внедрения научных, изобретательских, бизнес идей. Обучение приемам решения научных проблем, изобретательских задач. Научное, изобретательское, писательское, инженерное творчество. Постановка, выбор, решение наиболее ценных научных, изобретательских задач, идей.

Публикации результатов творчества. Как написать и опубликовать научную статью, подать заявку на изобретение, написать, издать книгу. Теория написания, защиты диссертаций. Зарабатывание денег на идеях, изобретениях. Консультирование при создании изобретений, написании заявок на изобретения, научных статей, заявок на изобретения, книг, монографий, диссертаций. Соавторство в изобретениях, научных статьях, монографиях.

Теоретическая механика (теормех), сопротивление материалов (сопромат), детали машин, теория механизмов и машин (ТММ), технология машиностроения, технические дисциплины.

Теоретические основы электротехники (ТОЭ), электроника, основы цифровой, аналоговой электроники.

Аналитическая геометрия, начертательная геометрия, инженерная графика, черчение. Компьютерная графика, программирование графики, чертежи в Автокад, Нанокад, фотомонтаж.

Логика, графы, деревья, дискретная математика.

OpenOffice и LibreOffice Basic, Visual Basic, VBA, NET, ASP.NET, макросы, VBScript, Бэйсик, С, С++, Делфи, Паскаль, Delphi, Pascal, C#, JavaScript, Fortran, html, Маткад. Создание программ, игр для ПК, ноутбуков, мобильных устройств. Использование бесплатных готовых программ, движков с открытыми исходными кодами.

Создание, размещение, раскрутка, программирование сайтов, интернет-магазинов, заработки на сайтах, Web-дизайн.

Информатика, пользователь ПК: тексты, таблицы, презентации, обучение методу скоропечатания за 2 часа, базы данных, 1С, Windows, Word, Excel, Access, Gimp, OpenOffice, Автокад, nanoCad, Интернет, сети, электронная почта.

Устройство, ремонт компьютеров стационарных и ноутбуков.

Видеоблогер, создание, редактирование, размещение видео, видеомонтаж, зарабатывание денег на видеоблогах.

Выбор, достижение целей, планирование.

Обучение зарабатыванию денег в Интернет: блогер, видеоблогер, программы, сайты, интернет-магазин, статьи, книги и др.

Вы можете поддержать развитие сайта, оплатить консультационные услуги Ольшевского Андрея Георгиевича

15.10.17 Ольшевский Андрей Георгиевич e-mail: [email protected]