Полный разбор функции. Общий план исследования функций и построения графиков. Как исследовать функцию и построить её график

Решебник Кузнецова.
III Графики

Задание 7. Провести полное исследование функции и построить её график.

        Прежде, чем Вы начнёте скачивать свои варианты, попробуйте решить задачу по образцу, приведённому ниже для варианта 3. Часть вариантов заархивированы в формате.rar

        7.3 Провести полное исследование функции и построить её график

Решение.

        1) Область определения:         или        , то есть        .
.
Таким образом:         .

        2) Точек пересечения с осью Ox нет. Действительно, уравнение         не имеет решений.
Точек пересечения с осью Oy нет, так как        .

        3) Функция ни чётная, ни нечётная. Симметрии относительно оси ординат нет. Симметрии относительно начала координат тоже нет. Так как
.
Видим, что         и        .

        4) Функция непрерывна в области определения
.

; .

; .
Следовательно, точка         является точкой разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

5) Вертикальные асимптоты:        

Найдём наклонную асимптоту        . Здесь

;
.
Следовательно, имеем горизонтальную асимптоту: y=0 . Наклонных асимптот нет.

        6) Найдём первую производную. Первая производная:
.
И вот почему
.
Найдём стационарные точки, где производная равна нулю, то есть
.

        7) Найдём вторую производную. Вторая производная:
.
И в этом легко убедится, так как